量子力学/波与模态

如果从一开始就引入一些场论和量子场论的概念，例如“正常模态”和“占据”，就可以避免许多关于量子力学的误解。它们是理解量子力学最深奥和最有趣的思想所必需的。欢迎在讨论页上提出关于此方法的问题。

波与模态

波是在连续介质或物理场中传播的扰动。通过添加波或将它们的振幅乘以一个比例因子，形成波的**叠加**。波必须满足叠加原理，该原理指出波可以相互穿过而不会相互干扰。看起来有两个叠加的现实，每个现实只携带一个波，并且不知道彼此的存在（如果在波动方程中数学地使用叠加原理，就会假设这一点）。

例子包括声波和电磁波（光），还有下面解释的电子轨道。

许多学生认为**驻波**是一个一维的概念，因为通常提供的例子（弹簧上的波或弦上的波）都是如此。实际上，驻波是扩展物体的所有部分在一定频率下同步振荡，其中振荡轮廓（特别是节点和最大振荡幅度点）不发生改变。这也称为振荡的正常模态。轮廓可以在克拉尼图形和振动全息术中变得可见。在无界系统中，即没有反射壁或吸引势的系统，行波也可以被选为振荡的正常模态（参见边界条件）。

振荡正常模态的**相移**是按振荡周期角度表示的时间偏移，例如 90° 和 180°（或 $\pi /2$ 和 $\pi$）分别是振荡周期的四分之一和二分之一的时间偏移。此操作被引入作为形成波叠加的另一种允许操作（在数学上，它由缩放波的复数的相位因子覆盖）。

• 亥姆霍兹进行了一项实验，清楚地展示了箱体中共振的物理现实。（他预测并检测到本征频率。）
• 驻波和行波实验

电磁模态和电子模态

量子力学之父之一，马克斯·普朗克。

普朗克第一个提出电磁模态不是连续激发的，而是由能量量子 $h\nu$ 以与频率成正比的方式离散激发的。通过这个假设，他可以解释为什么在热光源中高频模态保持未激发：热交换能量 $k_{B}T$ 太小了，无法提供能量量子 $h\nu$ 如果 $\nu$ 太大。经典物理学预测，*所有* 振荡模态（每个模态有 2 个自由度）——无论其频率如何——都携带平均能量 $k_{B}T$，这相当于无限的总能量（称为紫外灾变）。这个能量量子化的想法是模态占据概念的历史基础，爱因斯坦将其称为光量子，自从 1926 年吉尔伯特·N·刘易斯引入这个术语以来，它也被称为光子。

电子束（在类似于电视的阴极射线管中加速）在晶体中被衍射，在屏幕上观察到类似于单色光被衍射光栅衍射或 X 射线被晶体衍射的衍射图案。这个观察结果证明了德布罗意的想法，即不仅光，而且电子也像波一样传播和衍射。在原子核的吸引势中，这种波就像吉他琴体中的声波一样被限制。这就是为什么在这两种情况下都会形成驻波（= 振荡的正常模态）。电子是这种模态的占据。

光学腔。

电子轨道是电子量子场的振荡正常模态，非常类似于光学腔中的光模态是电磁场的振荡正常模态。据说电子是轨道的占据。这是量子力学的主要新思想，它是由对多电子原子中电子状态的观察强加给我们的。观察到某些场，例如电子量子场，只允许其振荡的正常模态在给定时间被激发一次，它们被称为费米子。如果你在这个量子场中有更多占据要放置，你必须选择其他模态（自旋自由度包含在模态中），例如在碳原子中就是这种情况。通常，较低能量（= 较低频率）的模态更受青睐。如果它们已经被占据，则*必须* 选择较高能量的模态。在光的情况下，光子是电磁模态占据的想法是由普朗克和爱因斯坦在更早的时候发现的，见下文。

过程和粒子

自然界中所有过程都可以简化为模式的孤立时间演化和占有率的重新排列（叠加），如费曼图中所描述的（由于解耦模式的孤立时间演化是平凡的，因此有时会通过数学重新定义将其消除，这反过来又会在重新排列操作中产生时间依赖性；这被称为狄拉克的相互作用图像，其中所有过程都简化为占有率的（重新定义的）重新排列）。例如，在电子发射光子的过程中，电子改变其状态，一个电子模式的占有率被转移到另一个频率较低的电子模式，并产生一个电磁模式（其频率等于所述电子模式频率的差）的占有率。

在量子理论中，电子和光子变得非常相似，但一个主要的区别仍然存在：电子模式不能被激发/占据超过一次（= 泡利不相容原理），而光子/电磁模式可以，甚至更倾向于这样做（= 受激发射）。

电子模式和光子模式的这种性质分别称为费米子和玻色子。两个光子是不可区分的，两个电子也是不可区分的，因为在这两种情况下，它们只是模式的占有率：重要的是哪些模式被占据。占据的顺序无关紧要，除了在费米子占据的奇排列中，振幅中引入负号。

当然，电子和光子之间还有其他区别。

• 电子带有电荷和静止质量，而光子没有。
• 在物理过程中（参见费曼图），一个光子可以被创建，而一个电子不能被创建，除非同时移除其他费米子粒子或创建一些费米子反粒子。这是由于电荷守恒。

模式数、可观察量和本征模式

描述波的模式系统可以随意选择。任何任意波都可以分解成所选系统中每个模式的贡献。对于有数学倾向的人来说：这种情况类似于将向量分解成所选坐标系中的分量。解耦模式，或作为近似，弱耦合模式在您想要描述系统随时间的演化时特别方便，因为每个模式独立于其他模式演化，您可以简单地将时间演化加起来。在许多情况下，考虑不太复杂的弱耦合模式并将其描述为微扰就足够了。

在每个模式系统中，您必须选择一些（连续或离散）编号（称为“量子数”）用于系统中的模式。在克拉德尼图形中，您可以简单地计算不同空间方向上驻波的节点线数，以获得编号，只要它是唯一的。对于解耦模式，能量或等效地，频率可能是一个好主意，但通常您需要更多的数字来区分具有相同能量/频率的不同模式（这就是所谓的简并能级的情况）。通常这些额外的数字指的是模式的对称性。例如，平面波——它们在空间均匀的情况下是解耦的——可以通过以下事实来表征：在空间上移动（平移）它们后，唯一的结果是其振荡的相移。显然，对应于三个空间方向上单位平移的相移为这些模式提供了良好的编号。它们被称为波矢或等效地，模式的动量。具有根据球谐函数的角依赖性的球面波（参见图片）——它们在球对称的情况下是解耦的——类似地通过以下事实来表征：在绕 z 轴旋转它们后，唯一的结果是其振荡的相移。显然，对应于单位角度旋转的相移是这些模式良好编号的一部分；它被称为磁量子数 m（它必须是整数，因为 360° 旋转不应有任何影响）或等效地，轨道角动量的z 分量。如果您将尖锐波包视为模式系统，则波包的位置是该系统的一个很好的编号。在晶体学中，模式通常根据其在晶体对称操作中的变换行为（称为群表示）进行编号，另请参见对称群、晶体系统。

因此，模式数通常指的是物理量，称为可观察量，这些量表征了模式。对于每个模式数，您可以引入一个称为算符的数学运算，它只将给定模式乘以该模式的模式数的值。只要您选择了实际使用并以算符的模式数为特征的模式系统，就可以做到这一点。这样的系统称为本征模式系统，或本征态：尖锐波包不是动量算符的本征模式，它们是位置算符的本征模式。球谐函数是磁量子数的本征模式，解耦模式是能量算符的特征值等等。如果您有多个模式的叠加，您只需对每个贡献应用算符并将结果加起来。如果您选择了不同的模式系统，该系统不使用与算符对应的模式数，您只需将给定的模式分解成本征模式，然后再次将算符作用于贡献的结果加起来。因此，如果您有多个本征模式的叠加，例如，不同频率的模式的叠加，那么您将得到可观察量不同值的贡献，在这种情况下是能量。然后说叠加对可观察量具有不确定的值，例如在钢琴音调中，基频和作为基频倍数的高次谐波的叠加。叠加中的贡献通常并不相等，例如，在钢琴音调中，非常高次谐波的贡献并不大。从数量上讲，这是由各个贡献的振幅来表征的。如果只有一个模式数值的贡献，则叠加被称为具有确定的或尖锐的值。

• 波动粒子二象性基础。

如果您进行位置测量，结果是占据一个非常尖锐的波包，它是位置算符的本征模式。这些尖锐的波包看起来像点状物体，它们彼此强烈耦合，这意味着它们很快就会扩散。

测量

在给定情况下对这种模式数进行测量时，结果是该模式数的本征模式，该本征模式是从给定叠加中的贡献中随机选择的。所有其他贡献都假定在测量中被消除——这被称为波函数坍缩，这个过程的一些特征是值得怀疑和争议的。选择特定本征模式的概率等于振幅的绝对平方，这被称为玻恩概率定律。这就是为什么在量子力学中，叠加中模式的振幅被称为“概率振幅”的原因。所得本征模式的模式数值是可观察量测量的结果。当然，如果您在测量之前对可观察量具有确定的值，那么测量不会改变任何东西，结果是确定的。这种图景被称为哥本哈根解释。埃弗里特的多个世界理论对测量过程给出了不同的解释；它不涉及任何波函数坍缩。相反，被测量系统的模式和测量装置的模式的组合的叠加（一个纠缠态）被形成，并且这些叠加分量的进一步时间演化彼此独立（这被称为“多个世界”）。

举个例子：一个尖锐的波包是位置可观察量的本征模式。因此，对这种波包位置的测量结果是确定的。另一方面，如果您将这种波包分解成平面波的贡献，即波矢或动量可观察量的本征模式，您将获得各种具有许多不同动量的模式的贡献，并且动量测量的结果将相应地。直观地说，这可以通过仔细观察一个尖锐或非常窄的波包来理解：由于波包中只有很少的空间振荡，因此只能读出波矢的非常不精确的值（对于有数学倾向的读者来说：这是傅里叶变换的常见行为，动量模式系统中叠加的振幅是位置模式系统中叠加的振幅的傅里叶变换）。所以在这种具有确定位置的状态下，动量是非常不确定的。反之亦然：您在所选叠加中确定的动量越多，位置就越不尖锐，这被称为海森堡不确定性关系。

两个不同的模式数（以及相应的算符和可观察量），它们都作为相同模式系统中的特征出现，例如，克拉德尼图形中一个方向上的节点线数和另一个方向上的节点线数，或位置本征模式系统中的不同位置分量，被称为对易或彼此兼容（在数学上，这意味着两个对应算符的乘积的顺序无关紧要，它们可以对易）。位置和动量是非对易模式数，因为您不能将确定的动量归因于位置本征模式，如上所述。因此，没有模式系统同时使用位置和动量（指相同空间方向）作为模式数。

薛定谔方程、狄拉克方程等

正如声学中，振动方向（称为偏振）、声速和声音传播介质的波阻抗对于计算模式（如查尔德尼图形中所见）的频率和外观至关重要，电子或光子/电磁模式也是如此：为了计算暴露于吸引或排斥波的势能、或等效地暴露于折射率和波阻抗变化、或暴露于磁场的模式（及其频率或时间演化），需要根据模式的偏振特征使用不同的方程。

• 电子模式（其偏振特征由自旋 1/2 描述）由狄拉克方程计算，或者在相对论理论无关紧要的情况下，由薛定谔方程和泡利方程近似计算。
• 光子/电磁模式（偏振：自旋 1）由麦克斯韦方程组计算（你看，19 世纪就已经找到了第一个量子力学方程！这就是为什么从电磁理论过渡到量子力学比从点力学过渡要容易得多）。
• 自旋 0 的模式将由克莱因-戈登方程计算。

结论

想象原子中的电子不是一个从一个地方跳到另一个地方或绕轨道运行的小点（不存在轨道，只有轨道），而是想象电子是占据一个延展的轨道，而轨道是一个被原子核吸引力限制在原子核附近的振动波，要比想象电子是一个小点更容易理解，也更符合物理规律。这就是为什么声学的查尔德尼图形和谐振器中电磁波的正常模式是量子物理中轨道图像的良好类比。如果你看到这种类比，量子力学就会变得不那么奇怪。从电磁理论（或声学）到量子理论的步骤，要比从点力学到量子理论的步骤容易得多，因为在电磁学中，你已经处理了振荡的波和模式，并求解了特征值方程以找到这些模式。你只需要像在经典电磁学中处理光一样，把单个电子当作波来处理。

在这种图景中，经典物理学和量子物理学之间的唯一区别是，在经典物理学中，你可以将振荡模式激发到一个连续的程度，称为经典振幅，而在量子物理学中，这些模式被离散地“占据”。——费米子模式在给定时间只能被占据一次，而玻色子模式可以被占据多次。粒子只是模式的占据，不多不少。正如在经典物理学中存在模式的叠加一样，在量子力学中，你也会得到模式占据的量子叠加，而缩放和相移因子被称为（量子）振幅。例如，在碳原子中，你拥有 6 个低能量（即频率）电子模式的占据组合。纠缠态只是模式占据组合的叠加。即使是量子场的态也可以用这种方式完全描述（除了假设的拓扑缺陷）。

正如你在声学和电磁学中可以选择不同类型的模式，例如平面波、球谐函数或小波包，你也可以在量子力学中这样做。所选择的模式并不总是解耦的，例如，如果你在吉他的共鸣体中选择平面波作为声学模式系统，你就会在模式的墙壁上反射到不同的模式，即你拥有耦合的振荡器，并且必须求解一个耦合的线性方程组来描述该系统。量子力学中也是如此：不同的特征函数系统只是同一个概念的新名称。能量特征函数是解耦的模式，而位置算子（德尔塔型波包）的特征函数或非球对称系统中角动量算子的特征函数通常是强耦合的。

测量中发生的事情取决于解释：在哥本哈根解释中，你需要假设波函数坍缩到测量算子的某个特征模式，而在埃弗里特的“多世界理论”中，会形成一个纠缠态，即被观察系统的模式占据的叠加和观察测量装置的模式占据的叠加。

量子力学和量子场论的形式

在狄拉克的形式主义中，模式占据的叠加被指定为状态向量或状态，写成 $|\psi \rangle$（$\psi$ 是叠加的名称），模式 $n$ 的单一占据，写成 $|\psi _{n}\rangle$ 或简写为 $|n\rangle$。真空态，即没有模式占据的情况，写成 $|0\rangle$。由于叠加是一种线性运算，即它只涉及乘以复数和加法，如

$|\phi \rangle ={\sqrt {1/3}}\,|n\rangle -{\sqrt {2/3}}\,|m\rangle$

(a superposition of the single occupations of mode $n$ and mode $m$ with the amplitudes ${\sqrt {1/3}}$ and $-{\sqrt {2/3}}$, respectively), the states form a vector space (i.e. they are analogous to vectors in Cartesian coordinate systems). The operation of creating an occupation of a mode $n$ is written as a generator ${\hat {a}}_{n}^{\dagger }$ (for photons) and ${\hat {b}}_{n}^{\dagger }$ (for electrons), and the destruction of the same occupation as a destructor ${\hat {a}}_{n}$ and ${\hat {b}}_{n}$, respectively. A sequence of such operations is written from right to left (the order matters): In ${\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{m}^{\dagger }{\hat {b}}_{n}$ an occupation of the electronic mode $n$ is moved to the electronic mode $m$ and a new occupation of the electromagnetic mode $i$ is created — obviously, this reshuffling formula represents the emission of a photon by an electron changing its state. $\alpha \,{\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {b}}_{m}^{\dagger }{\hat {b}}_{n}+\beta \,{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {b}}_{m}^{\dagger }{\hat {b}}_{n}$ is the superposition of two such processes differing in the final mode of the photon ($i$ versus $j$) with the amplitudes $\alpha$ and $\beta$, respectively.

如果模态编号更加复杂——例如为了描述一个氢原子的电子模态（即轨道），你需要四个模态编号n、l、m、s——这样的模态的占据情况可以写成$|n,l,m,s\rangle$ 或者 ${\hat {b}}_{n,l,m,s}^{\dagger }|0\rangle$（文字描述：在真空中创建了一个（n，l，m，s）模态占据后的状态）。如果你有两个不同轨道的占据，你可以写成

$|n_{1},l_{1},m_{1},s_{1};n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}\rangle$ 或者 ${\hat {b}}_{n_{1},l_{1},m_{1},s_{1}}^{\dagger }{\hat {b}}_{n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}}^{\dagger }|0\rangle$.

重要的是区分两个模态的这种双重占据和同一两个模态的单一占据的叠加，后者可以写成

$\alpha \,|n_{1},l_{1},m_{1},s_{1}\rangle +\beta \,|n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}\rangle$ 或者 $(\alpha \,{\hat {b}}_{n_{1},l_{1},m_{1},s_{1}}^{\dagger }+\beta \,{\hat {b}}_{n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}}^{\dagger })|0\rangle$.

但多个占据的叠加也是可能的，甚至不同数量或不同种类粒子的状态的叠加也是可能的

$(\alpha \,{\hat {b}}_{n_{3},l_{3},m_{3},s_{3}}^{\dagger }{\hat {b}}_{n_{1},l_{1},m_{1},s_{1}}^{\dagger }+\beta \,{\hat {b}}_{n_{2},l_{2},m_{2},s_{2}}^{\dagger }+\gamma \,{\hat {a}}_{i}^{\dagger })|0\rangle$.