量子化学/变量替换积分

在计算积分时，将形如 $\int f(g(x))g'(x)dx$ 的复杂积分转换为更简单的函数的一种有效方法是使用“变量替换” (或替换) 技术。这种技术通过引入一个新变量来简化积分， $u$ 替换 $g(x)$。当积分包含具有已知导数的函数或易于计算出导数的函数时，此方法最为有效，因为此过程利用了链式法则。变量替换技术的常规步骤如下；

1. 选择你的替换， $u=g(x)$：确定要积分的函数的哪个部分你想要替换为变量 $u$。被替换的部分应该有一个导数， $du$，它与积分的其余部分相似（即一个倍数）。
2. 计算导数， ${du \over dx}=g'(x)$：求所选函数部分关于 $x$ 的导数，然后重新排列表达式以用 $dx$ 表示你新变量的导数， $du$，$du=g'(x)dx$。
3. 新变量替换：将原函数用 $x$ 和 $dx$ 表示，并将新函数用 $u$ 和 $du$ 表示。此步骤应通过用 $u$ 替换原函数的一部分，并用 $du$ 的倍数替换 $dx$ 来简化积分。
4. 计算新积分：用替换后的变量 $u$ 求解新的简化积分。
5. 还原原变量：用原函数 $u=g(x)$ 替换新变量。

示例

$\int \sin(x)\cos(x)dx$

1. 选择你的替换项 $u=g(x)$。在本例中，你应该注意到 $g(x)=\sin(x)$ 对 $x$ 的导数会得到积分其余部分的倍数。因此，此情况下的最佳替换项为：

$u=g(x)=\sin(x)$

2. 计算导数 ${du \over dx}=g'(x)$。在本例中，其中 $u=\sin(x)$，你会使用已知的三角恒等式来计算导数。然后将导数重新排列，得到用 $dx$ 表示的 $du$；

${du \over dx}=g'(x)=\cos(x)$

$du=\cos(x)dx$

3. 变量替换：在本例中，变量 $u$ 将替换 $\sin(x)$，而 $du$ 将替换 $\cos(x)dx$。

$\int \sin(x)\cos(x)dx=\int udu$

4. 计算新积分：在本例中，使用幂律求解积分。

$\int udu={u^{2} \over 2}+C$

5. 恢复原变量：将 $u=g(x)=\sin(x)$ 替换回函数中。

${u^{2} \over 2}+C={\sin ^{2}(x) \over 2}+C$