RHIT MA113/多元积分

多元积分

多元积分的计算

多元积分从内到外计算，首先计算最内层的积分，然后向外计算。

${\begin{aligned}A&=\int \limits _{1}^{3}\int \limits _{0}^{x^{2}}\,dy\,dx\\&=\int \limits _{1}^{3}\left(\int \limits _{0}^{x^{2}}\,dy\right)\,dx\\&=\int \limits _{1}^{3}x^{2}\,dx\\A&={\frac {26}{3}}\\\end{aligned}}$

内层积分的限可能包含变量，只要这些变量在包含它的积分中被积分。因此，最外层积分的限必须只包含常数。

改变积分顺序

只要积分顺序正确改变，多元积分将覆盖相同的区域，因此积分顺序不会影响多元积分的最终结果。一般来说，明智的做法是首先确定最外层积分的限，然后向内工作，以避免任何错误。

用途

平均值

函数 $f(x)$ 的平均值等于 ${\frac {\iint \limits _{R}\,f(x)\,dA}{\iint \limits _{R}\,dA}}$

面积/体积

面积的公式是 $\iint \limits _{R}\,dA$，体积是 $\iiint \limits _{R}\,dV$

在笛卡尔坐标系中，$dA=dx\,dy$ 和 $dV=dx\,dy\,dz$，因此面积和体积分别是 $\iint \limits _{R}\,dx\,dy$ 和 $\iiint \limits _{R}\,dx\,dy\,dz$

同样的过程可以应用于极坐标，圆柱坐标和球坐标，如下所示

在极坐标系中，$dA=r\,d\theta \,dr$

在圆柱坐标系中，$dV=r\,d\theta \,dr\,dz$

在球坐标系中，$dV=\rho ^{2}\,\sin {(\phi )}\,d\rho \,d\phi \,d\theta$

质量

物体的质量公式为 $\iiint \limits _{R}\,\sigma \,dV$，其中 $\sigma$ 是物体的密度（可以是常数或位置的函数）

矩

一阶矩

$\iiint \limits _{R}\,r\,\sigma \,dV$，其中 r 是到旋转轴或线的距离

二阶矩

$\iiint \limits _{R}\,r^{2}\,\sigma \,dV$，其中 r 是到旋转轴或线的距离