RHIT MA113/向量

向量

标量与向量

标量是数字，或表示数字的量，例如 $7,x,y,e,\pi ,...$

向量由方向和大小组成，或多个标量分量组成，例如 $\left\langle 3,4\right\rangle ,5{\hat {i}},3{\hat {i}}+4{\hat {j}},...$ 向量的模可以通过勾股定理求得， $\left\Vert {\vec {a}}\right\|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$

向量乘法

向量-标量乘法

当向量乘以标量时，向量的每个分量都乘以标量，例如 $a\left\langle x,y\right\rangle =\left\langle ax,ay\right\rangle$

点积

角度 $\theta$、向量 ${\vec {x}}$ 和 ${\vec {y}}$ 之间关系的描述，以及点积 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$

两个向量的点积（或标量积）由$\left\langle a,b\right\rangle \,\cdot \,\left\langle c,d\right\rangle =a\,c+b\,d$给出。点积等于向量之间夹角的余弦乘以它们模长的乘积，因此向量之间的夹角可以使用$\cos {(\theta )}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left\Vert {\vec {a}}\right\|\,\left\Vert {\vec {b}}\right\|}}$轻松计算。

叉积

向量${\vec {u}}$和${\vec {v}}$的叉积的描述。

两个向量的叉积得到另一个向量，它垂直于这两个初始向量。叉积的大小等于这两个向量形成的平行四边形的面积，或$\left\Vert {\vec {a}}\times {\vec {b}}\right\|=\left\Vert {\vec {a}}\right\|\,\left\Vert {\vec {b}}\right\|\,\sin {(\theta )}$。