比例、比率及其应用
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比率作为数学语言中的基本构造，用于探索美感的原因，包括形状和音乐。因此，比率是人类对几何和时间的一种概念，是人类感知的一部分。关于比率的推理是比例，即两个比率是等价的，但大小不同，由此产生了比率的数学理论，并派生出不同的数学学科。比率的概念在古代数学史上成为了重要的工具，特别是在微积分中，伴随着可除性、乘法等其他数学概念。但现代对比率的定义主要是算术，它将比率视为一个值，而不是比率本身，因此比率的意义和可能用途丢失了。本书试图从历史和方法学的角度研究比率，以恢复比率在历史上的可能用途，因此我们或许能够在新的事物上使用类似的方法和概念。也就是说，比率将被视为一种可以帮助的工具，而不是仅仅具有值的算术实体。
在正式讨论比率之前，我们先探讨一下比率本身的概念的出现，这样我们就可以知道它可以在哪里使用，以及相关讨论的原因。
让我们将比率视为人类思维的一种内在功能。当我们说某人瘦的时候，这意味着身高相对更大于该人的跨度，这就是比率发挥作用的地方——瘦的概念是从比率的功能中得出的。这里，函数一词意味着一种思维活动，它接受输入（身高和跨度），执行一些过程（比较身高和跨度，并匹配瘦的概念），并产生输出（瘦的表达）。
这种瘦比率通常被称为 纵横比，它具有严格的含义：“不同维度几何形状的比率”，它产生了瘦、胖、宽、窄、深等的相对概念。也就是说，我们将比率作为一种理解事物几何属性的工具，并使用此属性来分析类似的事物。例如，树突棘可以被认为是瘦的，这具有生物学意义。
想象一下，有些人缺乏比率的认知能力，或者这种能力没有得到很好的发展，结果他们不能本能地使用这个概念来理解和分析事物；相反，他们只能像机器一样手动地遵循其他人给出的相关概念的定义，例如：“头部到颈部直径比率大于 1.100 μm 的棘突被认为是瘦的”。对于机器来说，这里的瘦一词只是一个字面概念，没有任何意义或隐含的意思。
从技术上讲，比率用于描述形状的几何组织。当我们说某人的脸很漂亮时，这意味着脸部各部分的大小和位置在我们看来是完美排列的。这里没有比较脸部各部分，我们只是想测量每个部分并列出一个清单。某人的眼睛可能比鼻子大，而某人的鼻子可能比眼睛大，但它们都可以被认为是美丽的。这里，比率意味着一个整体中各部分的几何组织。
一个基本的例子是三角形，它的三条边可以用比率 表示。在毕达哥拉斯学派看来，三角形 被认为是神圣的，因为它具有特定的比率、形状（直角三角形）和规则（毕达哥拉斯定理）。这个 三角形实际上代表一个形状，或者是一类具有相同比率的三角形，它们被称为相似，并且它们遵循相同的规则——毕达哥拉斯定理。因此，方程 实际上意味着有两个相似的物体，它们不等于；这种感觉不同于分数的算术等式，例如 .
比率作为比较两个量的概念是算术的。但在欧几里得的几何元素第五卷中，提出了一个中性的比率定义。
比率和分数最初是两个独立的概念，用于不同的情况。