表示论/集合表示

定义（集合表示）:

集合表示 是一个群在集合范畴中的表示。

或者，集合表示也被称为群作用，我们说 $G$ 作用于一个集合 $S$。每当 $g\in G$，我们将用 $g$ 来表示 $\operatorname {Aut} (S)$（也就是 $S$ 的置换）的对应元素，使得 $g$ 成为 $S$ 上的双射函数。特别是，对于 $x\in S$，我们可以理解诸如 $gx$（作为 $g(x)$ 的简写）这样的表达式。

定义（轨道）:

设 $G$ 是作用于集合 $S$ 的群，设 $x\in S$。元素 $x$ 的轨道 定义为集合

$Gx:=\{gx|g\in G\}$.

命题（群作用将集合划分为轨道）:

设 $G$ 是作用于集合 $S$ 的群。那么 $S$ 被划分为 $G$ 的轨道。

证明：我们通过证明在同一个轨道上是一个等价关系来证明该断言。

1. $x\sim x$，因为 $ex=x$，因为该表示是一个群同态，所以 $e$ 代表单位元
2. $x\sim y\Rightarrow y\sim x$ 因为 $gx=y\Rightarrow x=g^{-1}y$ 由于该表示是一个群同态，所以 $g^{-1}gx=x$
3. $x\sim y\wedge y\sim z\Rightarrow x\sim z$ 因为 $y=gx$ 以及 $z=hy$ 意味着 $z=(hg)x$ 因为 $(hg)x=h(gx)$ 由于该表示是一个群同态 $\Box$

定义（传递作用）:

假设 $G$ 是作用在 $S$ 上的群。当且仅当所有元素都在同一个轨道上时，该作用被称为 **传递** 的，即只有一个轨道，并且它就是整个 $S$。

等价地，我们可以要求对于所有 $x,y\in S$，存在 $g\in G$ 使得 $gx=y$。