研究方法/双因素方差分析

引言

在我们之前的章节中，我们探讨了在研究中使用单一变量的方法；然而，心理学中进行的大部分研究都涉及多个变量的使用。这是因为很少有研究人员可以使用单个变量来解释人类行为。我们之前学习的材料涵盖了使用一个自变量。实际上，研究问题更常见的是涉及使用多个自变量。

本章将探讨双变量被试间设计的使用，以及用于测量此类设计的统计方法，称为双因素方差分析。

双变量设计的优势

在研究中，使用双变量设计比使用单变量设计提供了许多优势。第一个优势是效率提高。这是因为双变量设计包含了使用两个单变量设计的所有要素。由此，使用一个双变量设计比研究两个单变量设计实验更具成本效益。

另一个优势是我们可以分析设计中两个变量的交互作用。这有助于我们了解变量组合如何影响行为。特别是，它使我们能够理解和分析两个自变量对因变量的交互效应。在此，交互作用意味着一个自变量的影响受到另一个自变量的影响；或者，交互作用意味着一个自变量之间的关系在另一个自变量的不同水平（类型）下是不同的。

例如，研究人员Cohen、Nisbett、Bowdle和Schwaz（1996）进行了一项实验，他们检查了刚受过侮辱的白人男性参与者与未受过侮辱的参与者（来自美国北部和南部地区的男性）的反应。他们测量了他们的睾丸激素水平，为他们的攻击性水平创建了一个操作性定义。这是因为睾丸激素可以通过唾液样本轻松测量，并且与唤醒（尤其是攻击性）相关。假设是，受到侮辱的参与者会表现出比未受侮辱的参与者更高的睾丸激素水平；然而，还有第二个自变量：参与者的地域背景。事实上，研究人员从北部地区选取了一半的参与者，另一半来自南部。研究人员认为，来自南部的男性，他们拥有“荣誉文化”，会表现出比北部男性更大的睾丸激素水平升高。这是因为南部的男性从小就被教导在受到侮辱或暴力攻击时保护自己的性格，而北部的男性则没有，或者较少。他们认为，一个来自南部的男性受到侮辱会表现出更多的唤醒。

此示例显示了文化变量（北部或南部男性）如何影响攻击性变量（以睾丸激素水平的形式），并且还显示了受到侮辱如何影响攻击性水平。如果一个变量的影响在另一个变量的所有水平上都不一致，则这两个变量之间可能存在交互作用。例如，如果研究结果表明，北部男性的睾丸激素水平在受到侮辱时没有升高，但南部男性的睾丸激素水平升高了，则会存在交互作用。请记住，这是自变量之间的交互作用；因此，成为南部男性和受到侮辱的变量相互作用，产生攻击性增加的效果，而成为北部男性和受到侮辱则产生不同的交互作用，以防止攻击性增加。

使用双变量设计方差分析的最后一个优点是统计功效的提高。如果您回忆一下，功效是指自信地拒绝错误的零假设的能力。这种类型的研究设计提高了统计功效，因为组内方差往往小于可比的单变量研究（两个单因素方差分析）的组内方差。如果您回忆一下，方差越小，测量的波动越小；因此，F比率越小；因此，置信区间越小，这意味着我们更有可能选择了一个较小的可能值范围，这反过来又限制了统计显着性的可能值范围；因此，在正确拒绝错误的零假设方面具有更大的统计功效。

总结

使用双因素方差分析的双变量设计的优势

• 降低成本
• 能够分析两个自变量的交互作用
• 由于方差较小，统计功效增强

双变量设计的逻辑

考虑双变量设计的第一个概念是处理组合的概念。最初，当我们设计双变量研究时，我们会选择每个变量要使用的水平数。因为我们将两个变量组合到一个研究中，所以我们创建了称为析因设计的东西。析因设计表示一项研究，该研究为自变量每个可能水平组合都包含一个独立组。例如，在Cohen等人的实验中。（1996），侮辱条件有两个水平，参与者背景有两个水平。因此，该研究使用了2*2析因设计。此设计创建了4个独立组，因为它采用每个自变量的每个水平并将其相乘。在Cohen实验中，自变量侮辱有2个水平（对照和侮辱），自变量文化有2个水平（北部或南部）；因此，有两个自变量，每个自变量有2个水平。因此，它是一个2*2析因设计。以下是一个示例

Cohen 等人。2*2析因设计

因素B 参与者背景	因素A 侮辱条件
	对照a1	侮辱a2
北部b1	对照+北部 (a1b1)	侮辱+北部 (a2b1)
南部b1	对照+南部 (a1b2)	侮辱+南部 (a2b2)

自变量每个水平的组合都会创建一个处理条件或单元格。2*2析因设计创建了4个处理条件或单元格。如果一项研究有一个自变量有3个水平，另一个自变量有4个水平，那么这项研究将创建12个处理条件或单元格。

当两个变量都是被试间变量时，我们可以得出结论，各个单元格是独立组。独立性意味着为一个单元格收集的数据与其他单元格不相关。B.一般线性模型

当我们讨论单因素方差分析时，我们了解到单因素方差分析下的逻辑是一般线性模型。我们了解到，每个观察值是基线总均值加上处理效应加上组内随机误差的总和。

$X_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\epsilon _{ij}\,$

其中

$\sum \alpha _{i}=0\,$

双因素方差分析的逻辑也是一般线性模型。但是，在双因素方差分析的一般线性模型中，还有两个组成部分

$X_{ijk}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+(\alpha \beta )_{ij}+\epsilon _{ijk}\,$

其中

$\sum \alpha _{i}=0,\ \sum \beta _{j}=0,\ \sum (\alpha \beta )_{ij}=0,\ \,$

也就是说，单个观测值 Xijk 是基线总均值、自变量 A 在水平 i 处的效应、自变量 B 在水平 j 处的效应、A 在水平 i 处和 B 在水平 j 处的联合效应（称为交互效应）以及 A 在水平 i 处和 B 在水平 j 处组合的组内随机误差的总和。通常的做法是用点来代替平均值的索引来表示特定的均值。然后，所有索引上的平均值，即总均值，用以下表示：

$M=X_{...}\,$.

效应的估计值，即参数 μ、α_i、β_j 和 (αβ)_ij 分别为：

$M=X_{...}\,$

$a_{i}=X_{i..}-X_{...}\,$

$b_{j}=X_{.j.}-X_{...}\,$

$(ab)_{ij}=X_{ij.}-X_{i..}-X_{.j.}+X_{...}\,$

Cohen 等人。2*2析因设计

因素B 参与者背景	因素A 侮辱条件
	对照a1	侮辱a2
北部b1	对照+北部 (a1b1)	侮辱+北部 (a2b1)
南部b1	对照+南部 (a1b2)	侮辱+南部 (a2b2)

例如，对于第一个单元格中的第一个受试者 (X1jk)，观察到的分数将是总均值 (M)、所有对照组受试者的平均分数 (Ma1) 与总均值 (M) 之间的差值、所有来自北方的受试者的平均分数 (Mb1) 与总均值 (M) 之间的差值、第一个单元格中的平均分数 (Ma1b1) 与两个自变量在特定水平上的平均分数之差以及观察到的分数与第一个单元格中的平均分数之差（表示组内随机误差）的总和。

X1jk = M + (Ma1-M) + (Mb1-M) + (Ma1b1- Ma1- Mb1+M) + (X1jk - Ma1b1)

C. 平方和的组成部分

为了检验上述效应的显著性，需要分析总方差，即根据各种估计值将其分解成适当的部分。

$SST=\sum (X_{ijk}-X_{...})^{2}=\sum (X_{ijk}-X_{ij.}+X_{ij.}-X_{i..}-X_{.j.}+X_{...}+X_{i..}-X_{...}+X_{.j.}-X_{...})^{2}=\,$

=$\sum (X_{ijk}-X_{ij.})^{2}+\sum (X_{ij.}-X_{i..}-X_{.j.}+X_{...})^{2}+\sum (X_{i..}-X_{...})^{2}+\sum (X_{.j.}-X_{...})^{2}=$

$=SSE+SSAB+SSB+SSA\,$

如果我们重新排列上述等式，则得到：

X1jk - M= (Ma1-M) + (Mb1-M) + (Ma1b1- Ma1- Mb1+M) + (X1jk - Ma1b1)

我们可以看到，每个观察值与总均值的偏差是第一个自变量在特定水平上的平均分数与总均值的偏差之和、第二个自变量在特定水平上的平均分数与总均值的偏差之和、两个自变量组合的平均分数与两个自变量在特定水平上的平均分数之差以及随机误差的总和。

如果我们将等式的所有部分平方并对所有受试者的偏差求和，则得到：

SStotal=SSA+SSB+SSAB+SSwithin

上述等式表明，总平方和可以分解成四个部分：第一个自变量的不同水平之间的平方和、第二个自变量的不同水平之间的平方和、两个自变量的不同组合之间的平方和（即，不同单元格之间）以及组内平方和。

D. 方差的组成部分

如果我们将平方和除以对应的自由度，我们得到五种类型的方差。总方差是平方和除以总自由度 (N-1)。总方差也称为总均方。由于自变量引起的方差是自变量的平方和除以该变量的自由度。自变量的自由度是自变量的水平数减 1。因此，在上述示例中，由于侮辱条件引起的方差为 SSA/(2-1) (dfA=j-1)。由于参与者背景引起的方差为 SSB/(2-1) (dfB=k-1)。

由于两个自变量的组合（或交互作用）引起的方差是组合的平方和除以交互作用自由度，交互作用自由度是两个自变量的两个自由度的乘积，dfAB=dfA*dfB=(j-1)*(k-1)。

组内方差是组内平方和除以组内自由度，组内自由度为 N-j*k。

主效应和交互作用

A.主效应 主效应是指一个自变量对因变量的影响，同时保持其他变量的影响不变。具体来说，主效应代表单一自变量组间方差的一种特殊形式。在双因素方差分析中，有两个主效应，每个因素一个。当我们使用方差分析检查数据时，每个主效应可能具有统计学意义或不具有统计学意义。因此，结果有四种潜在模式

1)因子 A 具有统计学意义的主效应，但因子 B 没有。

2)因子 B 具有统计学意义的主效应，但因子 A 没有。

3)两个因素都具有统计学意义的主效应。

两条线平行，两个自变量之间没有交互作用。一个自变量之间的关系，例如，侮辱条件与反应之间的关系，在第二个变量的不同水平上没有差异，在本例中是参与者的背景。4)两个因素都没有统计学意义的主效应。

B.交互作用 交互作用表明一个变量的影响在所有其他变量的水平上并不一致。也就是说，一个自变量之间的关系在另一个变量的不同水平上是不同的。以上所有图形都表明没有交互作用的情况。当没有交互作用时，两条线是平行的。当有交互作用时，两者将不平行。对于 2*2 析因设计，有四种可能的交互作用：1) 因子 A（侮辱条件）具有统计学意义的主效应。但因子 B 没有统计学意义的主效应。

因素B （背景）	对照 a1	侮辱 a2	平均值
北方人 b1	6.0	6.0	6.0
南方人 b2	3.0	9.0	6.0
平均值	4.5	7.5	6.0

因子 A（侮辱条件）存在主效应。也就是说，不考虑背景差异，对照组 (M=4.5) 和侮辱组 (7.5) 之间存在显着差异。因子 B（背景）没有显着的主效应。也就是说，不考虑侮辱条件差异，南方人 (M=6.0) 和北方人 (6.0) 之间没有差异。这两个因素之间存在交互作用。南方人在受到侮辱后睾酮水平显着升高。相比之下，北方参与者的睾酮在两种侮辱条件下都没有变化。交互作用的标志是两条线不平行。

2) 因子 B 存在统计学意义的主效应，但因子 A 没有统计学意义的主效应。

因素B （背景）	对照 a1	侮辱 a2	平均值
北方人 b1	6.0	3.0	4.5
南方人 b2	6.0	9.0	7.5
平均值	6.0	6.0	6.0

参与者背景存在主效应。不考虑侮辱条件差异，南方人的睾酮水平 (M=7.5) 高于北方人 (M=4.5)。侮辱条件没有主效应。不考虑背景差异，对照组 (M=6.0) 的参与者与侮辱组 (M=6.0) 的参与者具有相似的睾酮水平。这两个因素之间存在交互作用。侮辱对南方和北方参与者产生了相反的影响。侮辱导致南方参与者的睾酮升高，而北方参与者的睾酮降低。

3) 两个主效应都具有统计学意义，并且存在交互作用。

因素B （背景）	对照 a1	侮辱 a2	平均值
北方人 b1	3.0	6.0	4.5
南方人 b2	3.0	12.0	7.5
平均值	3.0	9.0	6.0

因子 A 存在统计学意义的主效应。不考虑背景差异，对照组 (M=3.0) 和侮辱组 (9.0) 之间存在显着差异。因子 B 存在统计学意义的主效应。不考虑侮辱背景差异，南方人的睾酮水平 (M=7.5) 高于北方人 (M=4.5)。这两个因素之间存在统计学意义的交互作用。侮辱条件提高了睾酮水平。此外，南方参与者的睾酮水平总体上比北方参与者增加得更多。4) 两个主效应都不具有统计学意义，但交互作用具有统计学意义。

因素B （背景）	对照 a1	侮辱 a2	平均值
北方人 b1	3.0	9.0	6.0
南方人 b2	9.0	3.0	6.0
平均值	6.0	6.0	6.0

侮辱条件没有主效应。不考虑背景差异，对照组 (M=6.0) 的参与者与侮辱组 (M=6.0) 的参与者具有相似的睾酮水平。因子 B（背景）没有显着的主效应。也就是说，不考虑侮辱条件差异，南方人 (M=6.0) 和北方人 (6.0) 之间没有差异。但是，存在统计学意义的交互作用。对于南方人，侮辱会增加睾酮水平。对于北方人，侮辱会降低睾酮水平。