黎曼猜想/Zeta 函数介绍

定义 1

$\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\,\forall s\in \mathbb {C} :\Re (s)>1$

定理 1

$\zeta (s)=\prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

其中 $\prod _{p|{\text{prime}}}$ 表示对所有素数的乘积。

证明

注意，

${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}\ldots$

因此，

$\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}\ldots$

可以注意到，每隔一项都被移除了。因此，

${\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}\ldots$

减去，

$\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}\ldots$

可以注意到，这个过程对 RHS 进行了筛分，这意味着，

$\left(\prod _{p|{\text{prime}}}1-p^{-s}\right)\zeta (s)=1$

因此，

$\zeta (s)=\prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$ $\blacksquare$

定理 2

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t$

将被积函数乘以${\frac {e^{-t}}{e^{-t}}}$，

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}t^{s-1}}{1-e^{-t}}}\mathrm {d} t$

将$(1-e^{-t})^{-1}$写成幂级数形式，

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nt}\mathrm {d} t$

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nt}t^{s-1}\mathrm {d} t$

利用替换$\xi =nt\implies {\frac {1}{n}}\mathrm {d} \xi =\mathrm {d} t$

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }e^{-\xi }\left({\frac {\xi }{n}}\right)^{s-1}{\frac {1}{n}}\mathrm {d} \xi$

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}e^{-\xi }\xi ^{s-1}\mathrm {d} \xi$

使用无穷级数的性质，

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\int _{0}^{\infty }e^{-\xi }\xi ^{s-1}\mathrm {d} \xi$

根据 $\Gamma$ 函数的定义，

$\implies \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

根据定义，这确实是正确的。 $\blacksquare$