黎曼猜想/预备知识

词汇表

级数收敛:

取一个复数序列 $a_{n}$，令

$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}$

序列 $S_{N}$ 可能被称为收敛，如果 $S_{N}$ 趋向于某个有限极限 $L$，当 $N$ 趋于无穷大。具体来说，$S_{N}$ 和 $L$ 之间的差，当 $N$ 趋于无穷大时，变得任意小，即

$|S_{N}-L|\to 0$，当 $N\to \infty$

狄利克雷级数:

狄利克雷级数是一个具有以下形式的无穷级数：

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}s)$

其中 $a_{n}$ 和 $s$ 是复数，$\lambda _{n}$ 是一个严格递增的非负实数序列。在这本书中，我们研究一个特殊情况，即 $\lambda _{n}=\log n$ 的情况，即狄利克雷L级数

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\exp(-\log(n)s)$

$=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

伽马函数:

伽马函数将阶乘扩展到所有复数，除了非正整数。它由以下不当积分定义：

$s!=\Gamma (s+1)=\int _{0}^{\infty }t^{s}e^{-t}\mathrm {d} t$

满足以下性质：

$\Gamma (1)=1$

$s\Gamma (s)=\Gamma (s+1)$