黎曼猜想/猜想

定理 1

$\zeta (-2s)=0\forall s\in \mathbb {N}$

证明

考虑 Zeta 的函数方程，

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

注意，对于 $\zeta (-2s)$，正弦项的值为 $\sin(-\pi s)$，对于所有整数 $s$ 的值为 0，因此 $\zeta (-2s)=0$ 对于所有自然数 $s$ $\blacksquare$.

定义 1

这些零点被称为平凡零点。作为集合，

$\zeta _{t}=\{-2s:s\in \mathbb {N} \}$

不在此集合中的零点被称为非平凡零点。

注意 1

上述论证不能应用于 $(s<1)\in \mathbb {Z}$，因为 $\zeta (1)$ 是一个简单的极点（$s=0$），$\Gamma$ 的负参数也是如此（$s<0$）。

定理 2

所有非平凡零点 $\zeta$ 的实部位于区间 $(0,1)$ 内。

定理 3

$\zeta (1+it)\neq 0\forall t\in \mathbb {R}$

考虑不等式：

$\cos \theta \geq -1$

$\implies 2(1+\cos \theta )^{2}\geq 0$

$\implies 3+4\cos \theta +\cos 2\theta \geq 0$

根据前面章节推导的 $\zeta$ 的定义：

$\zeta (s)=\prod _{p|{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

对两边取对数，利用 $\log \left(\prod f(x)\right)=\sum \log \left(f(x)\right)$

$\log \zeta (s)=\sum _{p|{\text{prime}}}\log \left({\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)=-\sum _{p|{\text{prime}}}\log(1-p^{-s})$

将 $\log$ 写成幂级数形式：

$\log \zeta (s)=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p^{-sn}}{n}}$

将 $s=\sigma +it$ 代入，

$\log \zeta (\sigma +it)=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p^{-n\sigma -nit}}{n}}=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p^{n\sigma }}}\exp(-nit\log p)$

对参数取模，

$\log |\zeta (\sigma +it)|=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p^{n\sigma }}}\Re \exp(-nit\log p)=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p^{n\sigma }}}\Re \left(\cos(nt\log p)-i\sin(nt\log p)\right)=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p^{n\sigma }}}\cos(nt\log p)$

代入适当的值，

$3\log |\zeta (\sigma )|+4\log |\zeta (\sigma +it)|+\log |\zeta (\sigma +2it)|=\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3+4\cos(nt\log p)+\cos(2nt\log p)}{p^{n\sigma }}}$

如果设 $nt\log p=\theta$，则可以明显地看到，

$\sum _{p|{\text{prime}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3+4\cos(nt\log p)+\cos(2nt\log p)}{p^{n\sigma }}}\geq 0$

很明显地说明，

$\log |\zeta ^{3}(\sigma )|+\log |\zeta ^{4}(\sigma +it)|+\log |\zeta (\sigma +2it)|\geq 0$

对等式两边取指数，

$\zeta ^{3}(\sigma )\zeta ^{4}(\sigma +it)\zeta (\sigma +2it)\geq 1$

假设$\zeta$在$1+it_{0}$处有零点，则：

$\lim _{\sigma \to 1^{+}}\zeta ^{3}(\sigma )\zeta ^{4}(\sigma +it_{0})\zeta (\sigma +2it_{0})=0$

由于$\lim _{\sigma \to 1^{+}}\zeta (\sigma )$给出极点，而$\zeta (1+it_{0})$给出零点，这与之前提到的不等式矛盾，因此通过反证法证明了定理3 $\blacksquare$.

定理4

$\zeta (it)\neq 0\forall t\in \mathbb {R}$

利用函数方程，

$\zeta (it)=2^{it}\pi ^{it-1}\sin \left({\frac {\pi it}{2}}\right)\Gamma (1-it)\zeta (1-it)$

根据定理3，右边不等于零，因此左边也不等于零。 $\blacksquare$

定理3和4足以证明定理2。 $\blacksquare$

猜想

黎曼知道所有零点都在临界带内，并推测：

猜想

$\zeta$的所有非平凡零点都具有${\frac {1}{2}}$的实部。

上述猜想被认为是纯数学中最著名的猜想，也是黎曼最著名的作品。