Scheme 编程/抽象与数据

复数介绍

为了展示如何构建数据抽象，我们将逐步创建一个复数包。复数包含两个部分，实部和虚部。它们通常以两种方式之一表示，直角坐标形式

$a+bi$

和极坐标形式

$Re^{i\theta }$

现在，我们可以对复数执行所有常见的算术运算，加法、减法、乘法和除法。它们有简单的公式；

加法

$(a+bi)+(x+yi)=(a+x)+((b+y)i)$

减法

$(a+bi)-(x+yi)=(a-x)+((b-y)i)$

乘法

$Re^{i\theta }\cdot Pe^{i\phi }=R\cdot Pe^{i(\theta +\phi )}$

除法

${\frac {Re^{i\theta }}{Pe^{i\phi }}}={\frac {R}{P}}e^{i(\theta -\phi )}$

请注意，乘法和除法最好用极坐标形式表示，而加法和减法最好用直角坐标形式表示。这就提出了一个有趣的问题：如何最好地计算这些？我们是否使用一种内部表示？如果是，我们选择哪一种？有很多问题需要解决。这些可以通过尝试实现一种新的数据类型来解决：复数类型。

创建我们的通用“类型”变量

首先，我们将创建一个通用“类型”变量

(define typed-variable
  (lambda (type value)
    (cons 'Typed (list type value))
  )
)

现在我们需要一种方法来判断给定变量是否具有类型

(define typed?
  (lambda (var)
    (and (list? var) (= 'Typed (car var)))
  )
)

现在，我们已经引入了两个重要的概念，“谓词”和“构造函数”。第一个是用于判断某些数据是否具有正确形式的结构，第二个是用于构建我们数据结构的程序。

我们必须有一种方法来提取我们的数据（在本例中，是类型）从这种结构中，一种“选择”它的方法

(define type-of
  (lambda (var)
    (if (typed? var)
      (car (cdr var)
    )
  )
)

创建我们的复数数据类型

构建我们的构造函数

使用此类型的值，我们可以继续为我们的复数形成更详细的数据结构

(define complex-rect
  (lambda (a b)
    (typed-variable 'Rect-Complex (list a b))
  )
)

现在让我们继续，并创建一个complex-polar

(define complex-polar
  (lambda (r thet)
    (typed-variable 'Polar-Complex (list r thet))
  )
)

(define complex
  (lambda (type first-var second-var)
    (if (equal? 'type Polar)
        (cons (complex-polar first-var second-var) 
              (complex-rect (sqrt (+ (expt first-var 2) 
                                     (expt second-var 2)
                                  )
                            ) 
                            0
              )
        )  ;; Change second half to be the calculated values.
        (cons (complex-polar 0 0) (complex-rect first-var second-var))
    )
  )
)

构建我们的谓词

我们拥有了构造函数，现在我们需要谓词

(define is-complex?
  (lambda (var)
    (and (typed? (car var)) 
         (or (= 'Rect-Complex (type-of (car var))) 
             (= 'Polar-Complex (type-of (car var)))
         )
    )
  )
)

现在我们可以根据这些程序定义算术运算。