Scheme 编程/数字和表达式

Scheme 编程
← 简单表达式	数字和表达式	高等数学 →

在本节中，我们将继续使用数字，因为它们既熟悉又易于理解。我们还将介绍 Scheme 类型系统，并更仔细地考虑 Scheme 表达式是如何求值的。

类型

首先，当我们说一个 Scheme 对象是“数字”或“布尔值”时，我们的意思是？这些名称表示对象的类型。一般来说，了解对象的类型可以让我们了解如何使用它。如果我们知道 $a$ 和 $b$ 都属于布尔值类型，我们知道逻辑运算中的 AND 运算是在 $a$ 和 $b$ 上定义的；也就是说，( $a$ AND $b$ )的值是有意义的。我们说这样的有意义的表达式是类型正确的。另一方面，如果 $b$ 属于数字类型，我们没有办法求值( $a$ AND $b$ )，因为我们不知道如何在 AND 的两个参数都不是布尔值的情况下理解 AND。在这种情况下，表达式是类型错误的，其值是未定义的。

Scheme 是一种强类型语言，这意味着类型错误的表达式是被禁止的；对它的求值会导致 Scheme 报告错误。^[1] 例如，我们可以预期 Scheme 会拒绝以下表达式

> (+ 10 #t)
;; Error: (+) bad argument type - not a number: #t

从错误消息中，我们可以推断出 Scheme 过程 + 期望其参数为数字。由于 #t 是一个布尔值，所以表达式 (+ 10 #t) 是类型错误的；无法获得有意义的值，因此程序的执行停止。通过这种方式，Scheme 可以防止我们在继续执行时遇到由于伪造值带来的进一步意外情况。

我们如何获得 Scheme 对象的类型信息？Scheme 类型是由类型谓词定义的。这些是过程，它们以任何 Scheme 对象作为参数，如果对象具有特定类型，则返回 #t，否则返回 #f。因此，通过对类型 foo 应用类型谓词 foo?，我们可以将所有 Scheme 对象集合划分为类型为 foo 的对象和其余对象。

到目前为止，我们已经使用数字和布尔值，它们分别具有类型谓词 number? 和 boolean?，正如您可能猜到的那样。

> (number? 10)
#t
> (number? #t)
#f
> (boolean? 3)
#f
> (boolean? #f)
#t

Scheme 保证^[2] 基本类型（包括数字和布尔值）是不相交的。这意味着，例如，没有 Scheme 对象既是数字又是布尔值；它可能是一个或另一个，也可能两者都不是，但它不可能两者都是。用类型谓词来说，没有 Scheme 对象 x 使得 (number? x) 和 (boolean? x) 都是 #t。

我们不会在这本书中经常使用像 number? 这样的基本类型谓词，但理解它们如何定义 Scheme 类型系统很重要。它们在核心 Scheme 和库过程中不断被使用，例如，为了确保参数是类型正确的。

数字

我们在上一节中查看了几个简单的数值程序的示例。但是，到目前为止，我们看到的程序只使用了整数。Scheme 具有丰富的数字类型系统，称为数值塔，它让我们能够使用有理数、实数和复数进行计算。

> (+ 9/10 4/5)
17/10
> (* 2.423 -5.39245)
-13.06590635
> 2.762e8
276200000.0      ; 2.762 * 10^8
> (- 4+2i 1+7i)
3-5i
> (* 3+5i (+ 1.3 (/ 3 2)))
8.4+14.0i

正如这些示例所示，Scheme 还提供了许多编写数字的方法。有理数以 a/b 的形式编写，实数可以用指数（“科学”）表示法写成 men（它给出值为 $m\times 10^{n}$ ），复数以直角形式 a+bi（或 a-bi）编写，其中 a 是实部，b 是虚部。^[3]

正如我们在最后一个嵌套的示例中看到的，Scheme 允许我们混合不同类型的数字，而无需手动将它们转换为共同的形式。

Scheme 还提供了丰富的数值过程。以下是一些示例

> (gcd 36 60)  ; greatest common divisor
12
> (min 3 4.7 2.1)  ; min gives the minimum of its arguments
2.1
> (log 18)  ; natural logarithm of 18
2.89037175789616
> (floor-remainder 15 8)  ; integer division remainder (modulo)
7

请参阅 R7RS § 6.2.6 以获取数值过程的完整列表。

表达式

到目前为止，我们已经看到了 Scheme 对许多表达式进行求值（并且希望你在你的 Scheme 解释器中尝试过它们）。但是，我们对 Scheme 表达式的含义一直含糊不清。很容易猜到 (+ 2 3) 是通过将数字 2 和 3 相加来求值的，但当我们遇到复杂的嵌套或包含不熟悉的事物（例如自然数或加法）的表达式时，猜测是不够的。我们需要一个模型来对我们一直在看到的 Scheme 表达式进行求值。以下是简化版本，但对于我们在本章中将要研究的程序来说是正确的。

表达式 (+ 2 3) 似乎有点简单，但让我们一步一步地进行。这个表达式是将操作符 + 应用于操作数 2 和 3 的应用。要对应用进行求值，

首先，对操作符和操作数进行求值。

然后，将作为操作符值的程序应用于操作数的值。

我们在 "Scheme 简介" 中的第一个示例中看到，要求 Scheme 对一个数字进行求值，会将该数字作为值返回给我们。这个观察结果为我们提供了数字求值的一般规则。

数字求值：数字是自求值的。

有了这条规则，对操作数进行求值就变得微不足道了。现在我们需要操作符 + 的值。这个值是一个过程对象。这个值是不透明的；也就是说，它是一个用于执行加法的“黑盒子”，Scheme 提供了它，而我们无法看到它的内部工作原理。然后，我们可以将这个值应用于操作数的值，得到 5，即整个表达式的值。

一个更有趣的例子是表达式 (* (+ 2 3) (- 7 5))。在这里，操作符是 *，操作数是 (+ 2 3) 和 (- 7 5)。要找到这个应用的值，我们必须对这些子表达式进行求值，而这些子表达式本身就是应用！以下是一个可能的求值步骤序列：^[4]

(* (+ 2 3) (- 7 5))
  = (* 5 (- 7 5))
  = (* 5 2)
  = 10

更复杂的表达式是通过完全相同的过程进行求值的；参见下面的练习 1。只要我们处理完全由应用构建的表达式，我们就知道了如何对它们进行求值；我们递归地应用我们的求值规则，直到表达式完全求值。

练习 (解答)
为以下表达式提供一个求值步骤序列。 (* (- 7 (/ 9 3)) (* 10 (- 15 3) (+ 4 2)))

注意

↑ 一些流行的语言，包括 JavaScript 和 PHP，是弱类型的。粗略地说，这些语言允许在强类型语言中类型不匹配的组合。这通常是通过自动将一种类型的值转换为另一种类型的值来实现的；例如，JavaScript 表达式 4 + "five"（它结合了数字和字符字符串）求值为字符串 "4five"。在这里，数值操作数 4 已经被隐式地转换为字符串 "4"。Scheme 与其他强类型语言一样，不执行任何这种魔法；必须显式地转换值。
↑ R7RS § 3.2
↑ Scheme 还提供了极坐标系来表示复数。我们可以用 r@t 来表示模为r，辐角为t（以弧度表示）的复数。
↑ 我们实际上不知道操作数的求值顺序。目前，这没有区别，但重要的是要理解 Scheme 会按照某种（未指定的）顺序对它们进行求值。

[1] 一些流行的语言，包括 JavaScript 和 PHP，是弱类型的。粗略地说，这些语言允许在强类型语言中类型不匹配的组合。这通常是通过自动将一种类型的值转换为另一种类型的值来实现的；例如，JavaScript 表达式 4 + "five"（它结合了数字和字符字符串）求值为字符串 "4five"。在这里，数值操作数 4 已经被隐式地转换为字符串 "4"。Scheme 与其他强类型语言一样，不执行任何这种魔法；必须显式地转换值。

[2] R7RS § 3.2

[3] Scheme 还提供了极坐标系来表示复数。我们可以用 r@t 来表示模为r，辐角为t（以弧度表示）的复数。

[4] 我们实际上不知道操作数的求值顺序。目前，这没有区别，但重要的是要理解 Scheme 会按照某种（未指定的）顺序对它们进行求值。

[1]

[2]

[3]

[4]