序列与级数/无限乘积

定义（无限乘积）:

设$(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是一个数列，其元素属于$\mathbb {K} =\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$。如果极限

$\lim _{N\to \infty }\prod _{n=1}^{N}b_{n}$

存在，则称其为$(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 的无限乘积，记作

$\prod _{n=1}^{\infty }b_{n}$.

命题（无限乘积收敛的必要条件）:

为了使数列$(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$的

$\prod _{n=1}^{\infty }b_{n}$

无限乘积存在且不为零，必须有

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=1$.

证明：假设不满足$\lim _{n\to \infty }b_{n}=1$。则存在$\epsilon >0$ 和一个无限序列$(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$，使得对于所有$k\in \mathbb {N}$ 都有 $|b_{n}-1|>\epsilon$。因此，记

$P_{N}:=\prod _{n=1}^{N}b_{n}$,

我们将有

$|P_{n_{k}}-P_{n_{k}-1}|=|P_{n_{k}-1}||b_{n}|$.

假设为了反证，$\lim _{N\to \infty }P_{N}$ 存在且等于 $c\in \mathbb {R}$。那么当 $k$ 足够大时，我们将有

$\left||P_{n_{k}-1}||b_{n}|-|c|\right|\geq |c|\epsilon /2$,

这是一个矛盾。 $\Box$

命题（无穷乘积收敛的级数判别法）:

令 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 为实数序列。如果

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty$,

那么

$\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$

收敛。

证明： $\Box$