序列与级数/多重极限

定理（交换求和与积分）:

设 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 是一个测度空间，设 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是从 $\Omega$ 到 $\mathbb {K} ^{d}$ 的函数序列，其中 $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$。如果以下两个表达式中的任意一个

$\int _{\Omega }\sum _{n=1}^{\infty }\|f_{n}(\omega )\|_{\infty }\mu (d\omega )$ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\Omega }\|f_{n}(\omega )\|_{\infty }\mu (d\omega )$

收敛，那么另一个也收敛，并且我们有

$\int _{\Omega }\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(\omega )\mu (d\omega )=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\Omega }f_{n}(\omega )\mu (d\omega )$.

证明：将求和视为对 $\mathbb {N}$ 采用 σ-代数 $2^{\mathbb {N} }$ 和计数测度的积分，考虑到积分和求和是逐点定义的，这个定理是 Fubini 定理 的直接推论。 $\Box$

定理（交换求和与实微分）:

设 $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是从 $\mathbb {R} ^{d}$ 的一个开子集 $U$ 到 $\mathbb {R} ^{k}$ 的连续可微函数序列。假设这两个

$\sum _{n=1}^{\infty }\|f_{n}(x)\|_{\infty }$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\|Df_{n}(x)\|_{\infty }$

对所有 $x\in U$ 收敛，并且对所有 $x\in U$ 存在 $\delta >0$ 和一个序列 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 $\mathbb {R}$ 中，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}<\infty$ 并且 $\forall n\in \mathbb {N} :\forall y\in {\overline {B_{\delta }(x)}}:a_{n}\geq |Df_{n}(y)|$.

那么

$D\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }Df_{n}(x)$

对所有 $x\in U$.

证明： $\Box$