信号处理/维纳滤波器

信号预测

信号预测的概念非常重要，不仅在信号处理领域，而且在大多数工程领域。正式地说，预测问题是

给定一系列输入样本u(n), u(n - 1), u(n - 2) ...，以尽可能小的误差预测下一个未来输入u(n + 1)的值。

简而言之，预测器的思想是利用我们已经知道的信号的先前值的知识来尝试确定信号的下一个值。由于许多信号往往是自相关的，因此先前值与下一个值之间通常存在很强的关系。

维纳滤波器

右侧显示了一个简短的框图，表示预测问题。输入信号w[n]被馈送到具有抽头权重a_i的预测器。预测器的输出为x[n]。

现在，我们想要将x[n]与我们的期望信号进行比较，这里表示为s[n]。这两个信号之间的差值是我们的误差信号e[n]。维纳滤波器背后的思想是我们可以选择最佳抽头权重a_i，以使误差信号最小化。

最小化类型

值得问的是，我们到底是如何最小化误差的？换句话说，我们试图最小化与误差相关的哪个量？这个问题最常见、也是数学上最容易处理的答案是我们将最小化信号的均方误差。也就是说，我们想要最小化平均期望误差，而不是任何单个误差值。换句话说，我们可以将成本函数J定义为我们误差平方的期望

$J=E[e[n]e^{*}[n]]$

其中e^*[n]是我们系统的复共轭。我们将讨论复数作为最一般的情况，学生将能够轻松地将其简化为实数的情况。同样重要的是要注意，在许多情况下，例如通信信道或其他类型的信号处理，信号和滤波器系数通常本质上是复数，需要用复数值表示。

为了最小化我们的成本函数，我们需要对成本函数进行梯度运算，找到梯度完全等于零的点

$\nabla J=0$

我们在这里使用向量梯度而不是一维导数，因为最终我们的信号将变得更加复杂的向量。

整体概览

到目前为止，非专业读者可能想知道维纳滤波器的确切用途及其可能的应用方式。虽然最初的公式似乎没有太多用处，但将自适应算法（如最速下降算法）应用于维纳滤波器，才揭示了该系统的真正强大之处。

我们不是选择一个代表最佳解决方案的单个抽头权重向量，而是可以连续应用维纳-霍夫方程来连续更新滤波器系数。考虑通过通信信道传输的数据信号的情况。到达接收器的信号是另外两个项的总和

$w(t)=u(t)+n(t)$

其中u(t)是传输的数据信号，n(t)是随机噪声信号。像维纳滤波器这样的滤波器的目的是我们知道传输数据的特性，但接收信号的特性随着噪声信号随时间的变化而变化。使用自适应滤波器（如维纳滤波器），我们可以随着噪声随时间的变化，继续最小化由噪声引起的误差。