信号与系统/非周期信号

非周期信号

与周期信号相反的是非周期信号。非周期函数从不重复，尽管从技术上讲，非周期函数可以被视为周期为无穷大的周期函数。

背景

如果我们考虑非周期信号，我们会发现我们可以将傅里叶级数和推广成一个名为傅里叶变换的积分。傅里叶变换的使用方式与傅里叶级数类似，因为它将时域函数转换为频域表示。但是，它们之间也有一些区别。

1. 傅里叶变换可以处理非周期信号。
2. 傅里叶变换是无限小的正弦波的无限和。
3. 傅里叶变换具有逆变换，可以将频域转换回时域。

傅里叶变换

可以使用以下 MATLAB 命令执行此操作。

fft

傅里叶变换是以下积分

${\mathcal {F}}(f(t))=F(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

傅里叶变换的例子

1. 单位冲激函数，$\delta (t)$: ${\mathcal {F}}(\delta (t))=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-j\omega t}dt=1$
2. 矩形脉冲函数
3. $\exp(-at)u(t)~~~a>0$

傅里叶逆变换

逆变换由类似的积分给出

${\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}=f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$

使用这些公式，可以根据需要将时域信号转换为频域或从频域转换回时域。

部分分式展开

在尝试寻找傅里叶逆变换时，最重要的工具之一是部分分式理论。部分分式理论允许将一个复杂的带分数分解成多个简单的小分数的和。这种技术在处理其他变换（如拉普拉斯变换和 Z 变换）时也非常重要。

对偶性

傅里叶变换具有许多特殊性质，但也许最重要的性质是对偶性。

我们将使用“双箭头”信号来表示对偶性。如果我们有一个偶信号f，它的傅里叶变换为F，我们可以这样表示对偶性

$f(t)\Leftrightarrow F(j\omega )$

这意味着以下规则成立

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(j\omega )$ 并且 ${\mathcal {F}}\{F(t)\}=f(j\omega )$

请注意，在第二部分中，我们对变换后的方程式进行变换，只是我们从时域开始。然后我们转换为原始的时域表示，只是使用频率变量。对偶定理有许多结果。

卷积定理

卷积定理是对偶性质的重要结果。卷积定理说明以下内容

卷积定理

时域的卷积是频域的乘积。时域的乘积是频域的卷积。

或者，另一种写法（使用我们的新符号）如下

$A\times B\Leftrightarrow A*B$

信号宽度

另一个需要牢记的原则是在时域中信号的宽度与频域中的带宽相关。这可以用一句话概括

时域中的窄信号占用宽带宽。时域中的宽信号占用窄带宽.

这个结论很重要，因为在现代通信系统中，目标是拥有更窄（因此更频繁）的脉冲以提高数据速率，但结果是需要大量的带宽来传输所有这些快速、小的脉冲。

功率和能量

能量谱密度

与傅里叶级数不同，傅里叶变换没有为我们提供可以以离散方式加减的离散谐波数。如果我们的信道带宽受限，在傅里叶级数表示中，我们可以简单地删除一些谐波。然而，在连续频谱中，我们没有单个谐波可以操纵，而是必须检查整个连续信号。

给定信号的能量谱密度 (ESD) 是其傅里叶变换的平方。根据定义，函数f(t)的ESD由F²(jω)给出。给定范围（有限带宽）上的功率是在ESD图下、截止点之间的积分。ESD通常用变量E_f(jω)表示。

$E_{f}(j\omega )=F^{2}(j\omega )$

功率谱密度

功率谱密度 (PSD) 与ESD类似。它显示了特定信号频谱中功率的分布。

$P_{f}(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )d\omega$

功率谱密度和自相关形成傅里叶变换对偶对。这意味着

$P_{f}(j\omega )={\mathcal {F}}[R_{ff}(t)]$

如果我们知道信号的自相关，我们可以通过进行傅里叶变换来找到PSD。类似地，如果我们知道PSD，我们可以进行逆傅里叶变换来找到自相关信号。