期望值算子是一个线性算子，它提供了一种数学方法来确定随机分布的许多不同参数。当然，缺点是期望值算子采用积分形式，计算起来可能很困难。
期望值算子将用符号表示
![{\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86271a96e0b2cf5aa63928187db4596d27a17d43)
对于具有概率密度fx的随机变量X，期望值定义为
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d7f8d9483189e52bd96b030adbaf6527384dbf)
.
前提是积分存在。
信号的期望是将期望值算子应用于该信号的结果。期望是信号平均值的另一个词
![{\displaystyle \mu _{x}=\mathbb {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326cc9c4296e1136a170dd2b8b2b334f37d67699)
X的N次幂的期望值称为X或其分布的N阶矩
![{\displaystyle \mathbb {E} [X^{N}]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{N}f_{X}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf40cf9e0133f434e8943866a10c654c43e6f9cc)
.
一些矩有特殊的名称，每一个都描述了分布的某个方面。
一旦我们知道分布的期望值，我们就知道了它的位置。我们可以考虑相对于此位置的所有其他矩，并计算随机变量X - E[X]的N阶矩；结果称为分布的N阶中心矩。每个中心矩都有不同的意义，描述了随机分布的不同方面。X的N阶中心矩为
![{\displaystyle \mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{N}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mathbb {E} [X])^{N}f_{X}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45c13884787f0775b9b7f97d324fef490325453)
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为了符号的简单起见，第一矩，期望值被命名为
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mu _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87b8266627228b3c3e6e7a20c1bd0865f428b97)
,
然后X的N阶中心矩公式变为
![{\displaystyle \mathbb {E} [(X-\mu _{X})^{N}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu _{X})^{N}f_{X}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41fe613e09bcc0fd3262283524ab9979990f2958d)
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很明显，第一个中心矩为零
![{\displaystyle \mathbb {E} [(X-\mu _{X})]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9573242a3e47f4831b893cdbcad240244f5b94)
第二个中心矩是方差，
![{\displaystyle \mathbb {E} [(X-\mu _{X})^{2}]=\sigma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915384d7af72c9a4a3e9dff59c1b3aadf5ab7144)
方差，第二个中心矩，用符号 σx2 表示，定义为
![{\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\mathrm {var} (X)=\mathbb {E} [X-\mathbb {E} [X]]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d605af00c7cc6ba0110624adb6b76d1a6340c374)
随机分布的标准差是方差的平方根，表示为
时间平均算子提供了一种数学方法来确定函数在给定时间范围内的平均值。时间平均算子可以提供给定信号的平均值，但最重要的是它可以用来找到给定信号的小样本的平均值。该算子还允许我们用一个方便的速记方法来取平均值，这在许多公式中都有应用。
时间平均算子用尖括号（< 和 >）表示，定义如下
