信号与系统/概率运算

期望值运算符

期望值运算符是一个线性运算符，它提供了一种数学方法来确定随机分布的许多不同参数。当然，缺点是期望值运算符以积分的形式存在，这可能难以计算。

期望值运算符将用符号表示

$\mathbb {E} [\cdot ]$

对于具有概率密度f_x的随机变量X，期望值定义为

$\mathbb {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)dx$.

前提是积分存在。

信号的期望是将期望值运算符应用于该信号的结果。期望是信号平均值的另一个词

$\mu _{x}=\mathbb {E} [X]$

矩

X的N次方的期望值称为X或其分布的N次矩

$\mathbb {E} [X^{N}]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{N}f_{X}(x)dx$.

有些矩有特殊的名称，并且每个矩都描述了分布的某个方面。

中心矩

一旦我们知道了分布的期望值，我们就知道了它的位置。我们可以考虑所有其他相对于此位置的矩，并计算随机变量X - E[X]的N^th矩；结果称为分布的N^th中心矩。每个中心矩都有不同的含义，并描述了随机分布的不同方面。X的N次中心矩为

$\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{N}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mathbb {E} [X])^{N}f_{X}(x)dx$.

为了符号表示的简洁，第一个矩，期望值被命名为

$\mathbb {E} [X]=\mu _{X}$,

然后X的N次中心矩的公式变为

$\mathbb {E} [(X-\mu _{X})^{N}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu _{X})^{N}f_{X}(x)dx$.

很明显，第一个中心矩为零

$\mathbb {E} [(X-\mu _{X})]=0$

第二个中心矩是方差，

$\mathbb {E} [(X-\mu _{X})^{2}]=\sigma ^{2}$

方差

方差，即第二个中心矩，用符号 σ_x² 表示，定义如下：

$\sigma _{x}^{2}=\mathrm {var} (X)=\mathbb {E} [X-\mathbb {E} [X]]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}$

标准差

随机分布的标准差是方差的平方根，表示如下：

$\sigma _{x}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}}}$

时间平均运算符

时间平均运算符提供了一种数学方法来确定函数在给定时间范围内 的平均值。时间平均运算符可以提供给定信号的平均值，但最重要的是，它可以用于 找到给定信号的样本平均值。该运算符还为求平均提供了一种有用的简写方法，这在许多 方程中都有使用。

时间平均运算符用尖括号 (< 和 >) 表示，定义如下：

$\langle f(t)\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)dt$