信号与系统/傅里叶级数

傅里叶级数

傅里叶级数是一个专门的工具，它允许任何周期信号（满足某些条件）分解为无限个永恒正弦波的总和。这对许多人来说可能并不明显，但它在数学和图形上都是可以证明的。实际上，这允许傅里叶级数的用户将周期信号理解为各种频率分量的总和。（或者）将信号在特定时间段内的表示形式表示为正交函数线性组合称为傅里叶级数。

矩形级数

矩形级数将信号表示为正弦和余弦项的总和。周期信号可以分解成的正弦波类型完全取决于周期信号的特性。

计算

如果我们有一个周期为 2L 的函数 f(x)，我们可以将其分解为正弦和余弦函数的总和，如下所示

$$f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\right]$$

系数 a 和 b 可以使用以下积分求出

$$a_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx$$

$$b_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx$$

"n" 是一个整数变量。它可以取正整数（1、2、3 等）。n 的每个值都对应于 A 和 B 的值。幅度为 A 和 B 的正弦波称为谐波。使用傅里叶表示，谐波是信号的原子（不可分割）成分，据说它是正交的。

当我们将 n 设置为 1 时，从上述方程得到的正弦频率值称为基频。给定信号的基频是信号中最强大的正弦分量，也是最需要忠实传输的分量。由于 n 取整数，因此信号的所有其他频率分量都是基频的整数倍。

如果我们考虑时间上的信号，周期T₀类似于上述定义中的 2L。那么基频由下式给出

$f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

那么基频角频率为

$\omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$

因此，我们可以用更简洁的 $(n\omega _{0}x)$ 替换每个 $\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)$ 项。

信号特性

不同的信号特性会转化为傅里叶级数的特定特性。如果我们能够提前识别这些特性，可以避免不必要的计算。

直流偏移

如果周期信号存在直流偏移，则信号的傅里叶级数将包含一个零频分量，称为直流分量。如果信号不存在直流偏移，则直流分量的幅值为 0。由于傅里叶级数过程的线性性，如果去除直流偏移，我们可以进一步分析信号（例如对称性），并在最后添加回直流偏移。

奇偶信号

如果信号为偶函数（关于参考垂直轴对称），则它由余弦波组成。如果信号为奇函数（关于参考垂直轴反对称），则它由正弦波组成。如果信号既不是偶函数也不是奇函数，则它由正弦波和余弦波组成。

不连续信号

如果信号不连续（即存在“跳跃”），则每个谐波n的幅值将按 1/n 的比例下降。

不连续导数

如果信号是连续的，但信号的导数不连续，则每个谐波n的幅值将按 1/n² 的比例下降。

半波对称

如果信号具有半波对称性，则不存在直流偏移，并且信号由仅位于奇次谐波（1、3、5 等）上的正弦波组成。这很重要，因为具有半波对称性的信号，要传输相同数量的谐波，需要比没有半波对称性的信号两倍的带宽。

$a_{0}=0\,$ $a_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos(n\omega _{0}x)dx,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

$b_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin(n\omega _{0}x)dx,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

偶函数的四分之一波对称

如果一个 2L 周期信号具有四分之一波对称性，那么它也必须是半波对称的，所以没有偶次谐波。如果信号是偶函数且具有四分之一波对称性，我们只需要对第一个四分之一周期进行积分。

$a_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {4}{L}}\int _{0}^{L/2}f(x)\cos(n\omega _{0}x)dx,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

我们也知道，因为信号是半波对称的，所以没有直流偏移。

$a_{0}=0\,$

因为信号是偶函数，所以没有正弦项。

$b_{n}=0\,$

奇信号的四分之一波对称性

如果信号是奇函数且具有四分之一波对称性，那么我们可以说

因为信号是奇函数，所以没有余弦项。

$a_{0}=0\,$

$a_{n}=0\,$

由于半波对称性，没有偶次正弦项，并且由于四分之一波对称性，我们只需要对第一个四分之一周期进行积分。

$b_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {4}{L}}\int _{0}^{L/2}f(x)\sin(n\omega _{0}x)dx,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

总结

按照惯例，余弦分量的系数用“a”标记，正弦分量的系数用“b”标记。然后可以提到一些重要的结论。

• 如果函数有直流偏移，a₀ 将不为零。没有 B₀ 项。
• 如果信号是偶函数，所有 b 项为 0（没有正弦分量）。
• 如果信号是奇函数，所有 a 项为 0（没有余弦分量）。
• 如果函数具有半波对称性，那么所有偶次系数（正弦项和余弦项的系数）都为零，我们只需要对信号进行一半积分。
• 如果函数具有四分之一波对称性，我们只需要对信号的四分之一进行积分。
• 正弦波或余弦波的傅里叶级数只包含一个谐波，因为正弦波或余弦波不能分解成其他正弦波或余弦波。
• 我们可以通过观察信号或信号导数的不连续性来检查级数。如果存在不连续性，谐波将以 1/n 的速度衰减，如果导数不连续，谐波将以 1/n² 的速度衰减。

极坐标级数

傅里叶级数也可以用极坐标形式表示，这种形式更紧凑，更易于操作。

如果我们有矩形傅里叶级数的系数 a 和 b，我们可以定义一个系数 x 和一个相位角 φ，它们可以通过以下方式计算：

$x_{0}=a_{0}\,$

$x_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$

$\phi _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)$

然后，我们可以使用余弦基函数来根据我们新的傅里叶表示来定义 f(x)：

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\cos(n\omega x-\phi _{n})$

使用余弦基而不是正弦基是一个任意区别，但很重要。如果我们想使用正弦基而不是余弦基，则需要修改上面 φ 的方程。

等价性证明

我们可以明确地证明极坐标余弦基函数等效于具有正弦项和余弦项的“笛卡尔”形式。

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\cos(n\omega x-\phi _{n})$

根据余弦的倍角公式

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\left[\cos(n\omega x)\cos(-\phi _{n})-\sin(n\omega x)\sin(-\phi _{n})\right]$

根据余弦和正弦的奇偶性质

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}\left[\cos(n\omega x)\cos(\phi _{n})+\sin(n\omega x)\sin(\phi _{n})\right]$

将系数分组

$f(x)=x_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[x_{n}\cos(\phi _{n})\cos(n\omega x)+x_{n}\sin(\phi _{n})\sin(n\omega x)]$

这等效于给定以下条件的矩形级数

$a_{n}=x_{n}\cos(\phi _{n})\,$

$b_{n}=x_{n}\sin(\phi _{n})\,$

除以，我们得到

${\frac {b_{n}}{a_{n}}}={\frac {x_{n}\sin(\phi _{n})}{x_{n}\cos(\phi _{n})}}=\tan(\phi _{n})$

$\phi _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)$

平方并相加，我们得到

$a_{n}^{2}+b_{n}^{2}=x_{n}^{2}\left[\cos ^{2}(\phi _{n})+sin^{2}(\phi _{n})\right]$

$a_{n}^{2}+b_{n}^{2}=x_{n}^{2}\,$

$x_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$

因此，鉴于上述对 x_n 和 φ_n 的定义，两者是等价的。对于正弦基函数，只需使用正弦倍角公式。其余过程非常相似。

指数级数

使用欧拉公式，以及一些技巧，我们可以将标准的矩形傅里叶级数转换为指数形式。即使复数更难理解，我们出于多种原因使用这种形式

1. 只需要执行一次积分
2. 单个指数比正弦波的总和更容易操作
3. 它为进一步讨论傅里叶变换提供了逻辑过渡。

我们可以使用欧拉公式从矩形级数构建指数级数

$\sin(x)={\frac {-i}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right);\quad \quad \cos(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$

矩形级数由下式给出

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(n\omega x)+b_{n}\sin(n\omega x)\right]$

将欧拉公式代入

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {a_{n}}{2}}e^{in\omega x}+{\frac {a_{n}}{2}}e^{-in\omega x}-{\frac {ib_{n}}{2}}e^{in\omega x}+{\frac {ib_{n}}{2}}e^{-in\omega x}\right]$

将表达式分成“正n”和“负n”两部分，得到

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {a_{n}}{2}}e^{in\omega x}-{\frac {ib_{n}}{2}}e^{in\omega x}\right]+\sum _{n=-\infty }^{-1}\left[{\frac {a_{-n}}{2}}e^{in\omega x}+{\frac {ib_{-n}}{2}}e^{in\omega x}\right]$

$f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})e^{in\omega x}+\sum _{n=-\infty }^{-1}{\frac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})e^{in\omega x}$

现在将这个表达式合并成一个

[指数傅里叶级数]

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\omega x}$

我们可以将c_n与矩形级数中的a_n和b_n联系起来

$c_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n}),&n<0\\a_{0},&n=0\\{\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),&n>0\end{cases}}$

这是f(x)的指数傅里叶级数。注意，c_n一般来说是复数。还要注意

• $\Re (c_{n})=\Re (c_{-n})$
• $\Im (c_{n})=-\Im (c_{-n})$

我们可以直接计算2L周期函数的c_n

$c_{n}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(x)e^{-in\pi x/L}dx$

这可以与使用欧拉公式的矩形形式中的a_n和b_n定义相关联：$e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}$.

负频率

傅里叶级数的指数形式做了一些与级数的矩形和极坐标形式相比非常有趣的事情：它允许存在负频率分量。为此，指数级数通常被称为“双边傅里叶级数”，因为频谱同时具有正负两侧。当然，这引出了一个问题，“什么是负频率？”

负频率似乎违反直觉，许多人会很快将其视为无稽之谈。然而，进一步研究电气工程（超出了本书的范围）将提供许多负频率在对某些系统建模和理解中起着非常重要作用的示例。虽然一开始可能不太容易理解，但在研究傅里叶域时需要考虑负频率。

负频率遵循对称性的重要规则：对于真实信号，负频率分量始终是正频率分量的镜像。一旦掌握了这个规则，一旦绘制了正侧频谱，绘制负侧频谱就变得微不足道。

然而，在查看双边频谱时，需要考虑负频率的影响。如果负频率是正频率的镜像，并且如果负频率类似于正频率，那么将负分量添加到信号中的效果与将正分量加倍相同。这是计算中指数傅里叶级数系数乘以二分之一的主要原因之一：因为一半的系数位于负频率。

注意：负频率的概念实际上是不切实际的。负频率仅在我们使用傅里叶级数的指数形式时出现在频谱中。为了表示余弦函数，欧拉的关系告诉我们，需要正负指数。为什么？因为要表示一个实函数，如余弦，指数表示法中存在的虚部必须消失。因此，欧拉公式中的负指数使它看起来存在负频率，而实际上并不存在。

示例：吊扇

理解负频率的另一种方法是使用它们来描述物理世界的数学完整性。假设我们要将头顶正上方旋转的吊扇的旋转情况描述给坐在附近的人。我们会说“它以每分钟 60 转的速度逆时针旋转”。但是，如果我们要将它的旋转描述给从上面观察风扇的人，我们会说“它以每分钟 60 转的速度顺时针旋转”。如果我们习惯上用负号表示顺时针旋转，那么我们会用正号表示逆时针旋转。我们使用正负号来描述相同的过程，具体取决于我们选择的参考系。

带宽

带宽是信号传输所需的频率范围的名称，也是特定传输介质的频率容量的名称。例如，如果给定信号的带宽为 10kHz，则它需要带宽至少为 10kHz 的传输介质才能在不衰减的情况下进行传输。

带宽可以用赫兹或弧度每秒来衡量。带宽仅测量正频率分量。所有真实信号都具有负频率分量，但由于它们只是正频率分量的镜像，因此不包括在带宽计算中。

带宽问题

需要注意的是，大多数周期信号是由无限个正弦波的总和组成的，因此需要无限的带宽才能在没有失真地传输。不幸的是，任何可用的通信介质（线路、光纤、无线）都没有无限的带宽可用。这意味着某些谐波将通过介质，而信号的其他谐波将被衰减。

工程学都是权衡。这里的问题是“我需要传输多少个谐波，我可以安全地去除多少个？”使用更少的谐波会导致带宽要求降低，但也导致信号失真增加。这些主题将在未来更详细地考虑。

脉冲宽度

利用周期和频率之间的关系，我们可以看到一个重要的结论

$f_{0}={\frac {1}{T}}$

随着信号周期的减小，基频增加。这意味着每个额外的谐波将被进一步隔开，现在传输相同数量的谐波将需要更多的带宽！一般来说，在考虑周期信号时，必须遵循一条规则：时域中较短的周期需要频域中更多的带宽。在频域中使用较少带宽的信号将需要时域中较长的周期。

示例

示例：x³

让我们考虑基于三次多项式的重复模式

$f\left(x\right)=x^{3},\quad -\pi \leq x<\pi \,$

并且f(x)是 2π 周期的

通过观察，我们可以确定傅里叶级数的一些特征

• 该函数是奇函数，因此余弦系数 (a_n) 将全部为零。
• 该函数没有直流偏移，因此将没有常数项 (a₀)。
• 存在间断，因此我们预计会有 1/n 的下降。

因此，我们只需要计算b_n项。这些可以通过以下公式找到

$b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{f\left(x\right)\sin \left({nx}\right)dx}$

将目标函数代入，得

$b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x^{3}\sin \left({nx}\right)dx}$

利用分部积分法求解，

$b_{n}={1 \over \pi }\left({\left[{-x^{3}{{\cos \left({nx}\right)} \over n}}\right]_{-\pi }^{\pi }+\int \limits _{-\pi }^{\pi }{3x^{2}{{\cos \left({nx}\right)} \over n}dx}}\right)$

提取公因子

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({\left[{-x^{3}\cos \left({nx}\right)}\right]_{-\pi }^{\pi }+3\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x^{2}\cos \left({nx}\right)dx}}\right)$

将积分上限和下限代入方括号中，并再次使用分部积分法求解

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-\left({\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+\pi ^{3}\cos \left({-n\pi }\right)}\right)+3\left({\left[{x^{2}{{\sin \left({nx}\right)} \over n}}\right]_{-\pi }^{\pi }-\int \limits _{-\pi }^{\pi }{2x{{\sin \left({nx}\right)} \over n}dx}}\right)}\right)$

因为 cos(x) 是偶函数，所以 cos(-nπ) = cos(nπ)。另外，将积分中的 1/n 提取出来

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-\left({\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)}\right)+{3 \over n}\left({\left[{x^{2}\sin \left({nx}\right)}\right]_{-\pi }^{\pi }-2\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x\sin \left({nx}\right)dx}}\right)}\right)$

简化左边部分，并将积分上限和下限代入方括号中，

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+{3 \over n}\left({\left({\pi ^{2}\sin \left({n\pi }\right)-\pi \sin \left({-n\pi }\right)}\right)-2\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x\sin \left({nx}\right)dx}}\right)}\right)$

回想一下，对于整数 n，sin(nπ) 始终等于零。

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+{3 \over n}\left({0-2\int \limits _{-\pi }^{\pi }{x\sin \left({nx}\right)dx}}\right)}\right)$

提出因子并使用分部积分法

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)-{6 \over n}\left[{-\left[{x{{\cos \left({nx}\right)} \over n}}\right]_{-\pi }^{\pi }+\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{{\cos \left({nx}\right)} \over n}dx}}\right]}\right)$

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)-{6 \over {n^{2}}}\left[-{\left[{x\cos \left({nx}\right)}\right]_{-\pi }^{\pi }+\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\cos \left({nx}\right)dx}}\right]}\right)$

求解现在简单的积分，并将极限代入方括号中

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)-{6 \over {n^{2}}}\left[{-\left({\pi \cos \left({n\pi }\right)+\pi \cos \left({-n\pi }\right)}\right)+\left[{\sin \left({nx}\right)}\right]_{-\pi }^{\pi }}\right]}\right)$

由于正弦波一个周期内的面积为零，因此我们可以消除积分。我们再次使用 cos(x) 是偶函数这一事实来简化

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)-{6 \over {n^{2}}}\left[{-2\pi \cos \left({n\pi }\right)+0}\right]}\right)$

简化

$b_{n}={1 \over {n\pi }}\left({-2\pi ^{3}\cos \left({n\pi }\right)+{{12\pi } \over {n^{2}}}\cos \left({n\pi }\right)}\right)$

$b_{n}={{-2\pi ^{2}\cos \left({n\pi }\right)} \over n}+{{12\cos \left({n\pi }\right)} \over {n^{3}}}$

$b_{n}=\cos \left({n\pi }\right)\left({{{-2\pi ^{2}n^{2}} \over {n^{3}}}+{{12} \over {n^{3}}}}\right)$

$b_{n}={{-2\cos \left({n\pi }\right)} \over {n^{3}}}\left({\pi ^{2}n^{2}-6}\right)$

现在，利用cos(nπ)=(-1)ⁿ

$b_{n}={{-2\left({-1}\right)^{n}} \over {n^{3}}}\left({\pi ^{2}n^{2}-6}\right)$

这是我们最终的b_n。我们看到，我们有一个近似1/n的关系（常数“6”随着n的增长变得无关紧要），正如我们预期的那样。现在，我们可以根据以下公式找到傅里叶逼近

$f\left(x\right)={1 \over 2}a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left[{a_{n}\cos \left({nx}\right)+b_{n}\sin \left({nx}\right)}\right]}$

由于所有a项均为零，

$f\left(x\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{b_{n}\sin \left({nx}\right)}$

所以，f(x) = x³的傅里叶级数逼近是

$f\left(x\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left[{{{-2\left({-1}\right)^{n}} \over {n^{3}}}\left({\pi ^{2}n^{2}-6}\right)\sin \left({nx}\right)}\right]}$

下图显示了前 7 项（红色）和前 15 项（蓝色）的逼近。原始函数以黑色显示。

示例：方波

我们有以下方波信号，作为电压的函数，通过通信介质传播

我们将设置以下值：A = 4 伏特，T = 1 秒。此外，还给定单个脉冲的宽度为T/2。

找到该信号的矩形傅里叶级数。

首先，我们可以清楚地看到该信号确实具有直流值：该信号完全存在于水平轴之上。直流值意味着我们将不得不计算a₀项。接下来，我们可以看到，如果我们移除直流分量（将信号向下移动，直到它以水平轴为中心），我们的信号就是一个奇信号。这意味着我们将有b_n项，但没有a_n项。我们还可以看到，该函数具有不连续性和半波对称性。让我们回顾一下

1. 直流值（必须计算a₀）
2. 奇函数（a_n = 0 对于 n > 0）
3. 不连续性（项随着 1/n 衰减）
4. 半波对称性（没有偶次谐波）

现在，我们可以按如下方式计算这些值

$a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)dt$

$a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T/2}4dt$

$a_{0}={\frac {1}{T}}\left[4t\right]_{0}^{T/2}={\frac {4\times T}{T\times 2}}=2$

直观地看，由于信号的占空比为 50%，因此平均值为最大值的一半。

由于函数的奇性，没有余弦项

$a_{n}=0\quad {\mbox{ for all }}n>0$.

由于半波对称性，只有奇数的正弦项，由以下公式给出：

$b_{n}={\frac {1}{T/2}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2n\pi t}{T}}\right)dt$

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T/2}4\sin \left(2n\pi t\right)dt$

$b_{n}=-2\left[{\frac {4}{2n\pi }}\cos \left(2n\pi t\right)\right]_{0}^{1/2}$

$b_{n}=-2\left[{\frac {4}{2n\pi }}\cos \left({\frac {2n\pi }{2}}\right)-{\frac {4}{2n\pi }}\cos \left(2n\pi \times 0\right)\right]$

$b_{n}=-{\frac {4}{n\pi }}\left[\cos \left(n\pi \right)-1\right]$

考虑到 cos(nπ)=(-1)ⁿ

$b_{n}=-{\frac {4\left((-1)^{n}-1\right)}{n\pi }}$

对于任何偶数 n，这个值等于零，这与我们根据半波对称性做出的预测相符。由于存在不连续性，它也按 1/n 的速率衰减，正如我们预期的那样。

最后，我们可以将傅里叶级数组合在一起，如下所示：

$f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}\sin \left({\frac {\pi nt}{\frac {L}{2}}}\right)}$

$f(t)=2-{\frac {4}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(-1)^{n}-1}{n}}\sin(2\pi nt)}$

这与以下公式相同：

$f(t)=2+{\frac {8}{\pi }}\sum _{n=1,3,5,\ldots }^{\infty }{{\frac {1}{n}}\sin(2\pi nt)}$

我们可以看到傅里叶级数与原始函数非常吻合。

进一步阅读

维基百科有一篇关于傅里叶级数的文章，但文章的数学推导非常严格。