信号与系统/傅里叶级数分析

绘制结果

从傅里叶级数的极坐标形式，我们可以看到，傅里叶级数本质上提供了两个量：幅度和相移。如果我们将整个级数简化为极坐标形式，我们可以看到，它不再是无限多个不同正弦波的总和，而只是无限多个余弦波的总和，它们具有不同的幅度和相位参数。这使得整个级数更容易处理，也允许我们开始使用不同的图形分析方法。

幅度图

在这一点上要记住，傅里叶级数将连续的周期性时间信号转换为离散的频率分量集。从本质上讲，傅里叶分量的任何图都是茎图，并且不会是连续的。用户不应该犯将分量插值到平滑图的错误。

傅里叶级数表示的幅度图绘制了系数的幅度（无论是$X_{n}$ 在极坐标形式，还是$C_{n}$ 在指数形式）相对于频率（以弧度/秒为单位）。X 轴将具有自变量，在本例中为频率。Y 轴将保存每个分量的幅度。幅度可以是电流或电压的度量，具体取决于原始信号的表示方式。但是请记住，大多数信号及其生成的幅度图都是用电压（而不是电流）来讨论的。

相位图

与幅度图类似，傅里叶表示的相位图将绘制每个分量的相位角相对于频率。频率（X 轴）和相位角（Y 轴）都将以弧度/秒为单位绘制。偶尔，赫兹可能会用于其中一个（甚至两个），但这并不常见。与幅度图一样，傅里叶级数的相位图将是离散的，应该绘制为单个点，而不是平滑的线条。

功率

通常，讨论给定周期波中的功率非常重要。讨论每个不同谐波传输的功率也同样重要。例如，如果某个信道具有有限的带宽并且正在滤除信号的某些谐波，那么了解信道从信号中消除了多少功率非常重要。

归一化

现在让我们看一下功率方程

$P=iv$

欧姆定律
$v=ir$

如果我们使用欧姆定律分别求解 v 和 i，然后将这些值代入我们的方程，我们将得到以下结果

$P=i^{2}R={\frac {v^{2}}{R}}$

如果我们归一化方程并将 R 设置为 1，那么两个方程都变得容易得多。在任何使用“归一化功率”一词的地方，都表示我们使用的是归一化电阻（R = 1）。

要“取消归一化”功率并找到非归一化电阻负载上的功率损耗，我们只需除以电阻（当以电压表示时）并乘以电阻（当以电流表示时）。

功率图

由于以上结果，我们可以假设所有负载都是归一化的，我们可以通过简单地对信号本身进行平方来找到信号中的功率。就傅里叶级数谐波而言，我们分别对每个谐波的幅度进行平方以生成功率谱。功率谱向我们显示每个谐波有多少功率。

帕塞瓦尔定理

如果傅里叶表示和时域表示只是考虑同一组信息的两种不同方式，那么两种表示在许多方面相等是有道理的。信号在时域表示中的功率和能量应该等于同一信号在频域表示中的功率和能量。**帕塞瓦尔定理**将两者联系起来。

帕塞瓦尔定理指出，在时域计算的功率与在频域计算的功率相同。有两种看待帕塞瓦尔定理的方法，一种是使用傅里叶级数的单边（极坐标）形式，另一种是使用双边（指数）形式。

$P=\int _{0}^{T}f^{2}(t)dt=X_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {X_{n}^{2}}{2}}$

和

$P=\sum _{-\infty }^{\infty }C_{n}C_{-n}=\sum _{-\infty }^{\infty }|C_{n}|^{2}$

通过改变频域中求和的上限，我们可以将功率计算限制在有限数量的谐波内。例如，如果信道带宽将特定信号限制为仅前 5 个谐波，则上限可以设置为 5，结果可以计算出来。

能量谱

利用帕塞瓦尔定理，我们可以计算信号在频谱不同部分使用的能量。这在许多应用中很有用，例如我们将在后面讨论的滤波。

我们从帕塞瓦尔定理中知道，为了获得信号谐波的能量，我们需要对频域表示进行平方，以便观察能量。我们可以将信号的**能量谱密度**定义为信号傅里叶变换的平方。

${\mathcal {E}}_{F}(\theta )={\mathcal {F}}^{2}(\theta )$

图形在不同频率下的幅度表示位于这些频率分量内的能量。

功率谱密度

信号中的能量是信号中的功率。要找到信号的功率谱或**功率谱密度**（PSD），

对信号的自相关函数（位于频域）进行傅里叶变换。

信噪比

在噪声存在的情况下，了解信号（你想要的）和噪声（你不想的）之间的比率通常很重要。噪声和信号之间的比率称为**信噪比**，缩写为**SNR**。

实际上有两种表示 SNR 的方法，一种是直接比率，另一种是分贝。这两个术语在功能上是等效的，尽管由于它们是不同的量，因此不能在同一公式中使用。值得强调的是，分贝不能像比率那样在计算中使用。

$SNR={\frac {Signal}{Noise}}$

这里，SNR 可以是功率或电压方面的，因此必须指定比较的是哪一个量。现在，当我们将 SNR 转换为分贝时

$SNR_{db}=10log_{10}\left({\frac {Signal}{Noise}}\right)$

例如，SNR 为 3db 表示信号的功率是噪声信号的两倍。更高的 SNR（在任一表示中）总是更好的。