信号与系统/周期信号

信号与系统

周期信号

如果一个信号在一个可测的时间范围内完成一个模式，这个时间范围称为周期，并且在相同的后續周期中重复这个模式，则该信号为周期信号。完成一个完整模式称为一个循环。周期被定义为完成一个完整循环所需的时间量（以秒为单位）。周期持续时间由 T 表示，每个信号的持续时间可能不同，但对于任何给定的周期信号来说是恒定的。

术语

这里我们将讨论一些与周期函数相关的常见术语。设g(t)为满足g(t + T) = g(t)对所有t成立的周期函数。

周期

周期是满足g(t + T) = g(t)对所有t成立的T的最小值。周期之所以这样定义是因为如果g(t + T) = g(t)对所有t成立，则可以验证g(t + T') = g(t)对所有t成立，其中T' = 2T, 3T, 4T, ... 本质上，它是函数自身重复所需的最短时间。如果函数的周期是有限的，则该函数称为“周期函数”。永远不重复自身的函数具有无限周期，被称为“非周期函数”。

周期性波形的周期将用大写字母T表示。周期以秒为单位。

频率

周期函数的频率是每秒可以发生的完整循环次数。频率用小写字母f表示。它定义为周期的函数，如下所示

f={\frac {1}{T}}

频率的单位是赫兹或每秒循环。

角频率

角频率是弧度表示的频率。它定义如下

\omega =2\pi f

振幅

给定波的振幅是在该点的波值。振幅也称为该特定点的波的“幅度”。振幅没有特定的变量，尽管大写字母 A、大写字母 M 和大写字母 R 是常见的。

振幅可以以不同的单位测量，具体取决于我们正在研究的信号。在电信号中，振幅通常以伏特为单位测量。在建筑物或其他类似结构中，振动的振幅可以用米为单位测量。

连续信号

连续信号是一个“平滑”信号，其中信号在一个特定范围内定义。例如，正弦函数是一个连续信号，指数函数或常数函数也是连续信号。正弦信号在 0 到 6 秒时间范围内的一部分也是连续的。非连续函数的例子是任何离散信号，其中信号值仅在特定间隔定义。

直流偏移

直流偏移是指周期函数的平均值没有围绕x轴中心对称的量。

如果周期信号没有围绕x轴中心对称，则它具有直流偏移分量。一般来说，直流值是指必须从信号中减去才能使其围绕x轴中心对称的值。根据定义

A_{0}=(1/T)*\int _{-T/2}^{T/2}f(x)dx

其中A₀为直流偏移。如果A₀ = 0，则函数是中心对称的，没有偏移。

半波对称

要确定周期为 2L 的信号是否具有半波对称性，我们需要检查信号的一个周期。如果将信号偏移半个周期后发现该信号是原始信号的负值，则该信号具有半波对称性。也就是说，满足以下属性

f(t-L)=-f(t)\,

半波对称意味着波的第二部分与第一部分完全相反。具有半波对称性的函数不必是偶函数或奇函数，因为该属性只需要偏移的信号相反，并且这可以发生在任何时间偏移。但是，它确实要求直流偏移为零，因为一个半部分必须完全抵消另一个半部分。如果整个信号具有直流偏移，则这种情况不会发生，因为当一个半部分加到另一个半部分时，偏移量将相加，而不是抵消。

请注意，如果一个信号关于半周期点对称，则它不一定具有半波对称性。t³ 函数就是一个例子，它在 [-1,1) 上是周期性的，关于t=0 具有奇对称性，但没有直流偏移。但是，当偏移 1 时，该信号不与原始信号相反。

半波对称信号没有偶数“正弦和余弦”谐波。

四分之一波对称

如果一个信号具有以下属性，则称其为四分之一波对称

它具有半波对称性。
它关于四分之一周期点（即距离一端或中心 L/2 的距离）具有对称性（奇数或偶数）。


具有四分之一波对称性的偶信号	具有四分之一波对称性的奇信号

任何具有四分之一波对称性的信号都可以通过在时间轴上上下移动来使其成为偶数或奇数。一个信号不必是奇数或偶数才能具有四分之一波对称性，但为了找到四分之一周期点，需要将该信号上下移动以使其成为奇数或偶数。下面是一个具有四分之一波对称性的信号（红色）的例子，在没有首先沿时间轴移动的情况下（绿色，虚线），它没有显示此属性。