数学教材/代数（9780132413770）/第一章 解决方案

练习 1.7

我们证明

${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&n&n(n+1)/2\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

当 $n=1$时，该等式成立。假设它对于 $n=k$ 成立，并考虑 $n=k+1$。那么我们有

${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}^{k+1}={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&k&k(k+1)/2\\0&1&k\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&k+1&(k+1)(k+2)/2\\0&1&k+1\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

练习 3.4

我们可以使用行操作将矩阵简化为行阶梯形式。如果还允许列操作，从第一行开始，我们可以对主元元素进行缩放，并将其从该行上的所有非零元素中减去。因此，我们可以将矩阵转换为只有主元元素为 1，其余为 0 的形式。如果矩阵具有满秩，则仅需行操作就足够了。

练习 4.6

设 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n},D\in \mathbb {R} ^{k\times k},B\in \mathbb {R} ^{n\times k}$ 且 $M={\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n+k}$。我们想证明 $\det M=\det A\cdot \det D$。

为了展示这一点，我们使用公式 (1.6.4) 来计算行列式：$\det M=\sum _{p\in S_{n+k}}{\textrm {sign}}(p)m_{1,p(1)}\cdots m_{n,p(n)}\cdots m_{n+1,p(n+1)}\cdots m_{n+k,p(n+k)}$。由于$m_{n+i,p(n+i)}=0$ 只要$1\leq i\leq k,p(n+i)\leq n$，和式中的乘积仅在$p$ 是一个排列，使得 $p(\{1,2,\ldots ,n\})=\{1,2,\ldots ,n\}$ 并且 $p(\{n+1,n+2,\ldots ,n+k\})=\{n+1,n+2,\ldots ,n+k\}$。因此，我们可以写成

${\begin{alignedat}{1}\det M&=\sum _{\pi \in S_{n},\sigma \in S_{k}}{\textrm {sign}}(\pi ){\textrm {sign}}(\sigma )m_{1,\pi (1)}\cdots m_{n,\pi (n)}\cdots m_{n+1,\sigma (1)}\cdots m_{n+k,\sigma (n+k)}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}{\textrm {sign}}(\pi )m_{1,\pi (1)}\cdots m_{n,\pi (n)}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\textrm {sign}}(\sigma )m_{1,\sigma (1)}\cdots m_{n,\sigma (k)}\\&=\det A\cdot \det D\end{alignedat}}$.

练习 5.1

$(12)(13)(14)(15)=(15432)$

$(123)(234)(345)=(12)(54)$

$(1234)(2345)=(12453)$

$(12)(23)(34)(45)(51)=(2345)$

练习 5.2

考虑置换 $p=(1324)$.

• a) 与 *p* 相关的置换矩阵是 $P={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$.
• b) $p=(1324)=(14)(12)(13)$
• c) sign( *p* ) = -1.

练习 6.2

令 $A\in \mathbb {Z} ^{n\times n}$. **断言: **$A$** 是可逆的，并且 **$A^{-1}$** 具有整数项当且仅当 **$\det A=\pm 1$**.

假设 **$A^{-1}$** 存在且具有整数项。首先注意到，从行列式公式

$\det A=\sum _{p\in S_{n}}{\textrm {sign}}(p)a_{1,p(1)}\cdots a_{n,p(n)}$

我们立即看到，如果项 **$a_{i,j}$** 是整数，那么行列式一定是整数，因为它是整数乘积的和。反之，如果行列式不是整数，则至少有一个项必须是非整数。

接下来，我们观察到，由于 $\det(A)\neq 0$ ， $\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})=1\Longrightarrow \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$。因此，除非 $\det A=\pm 1$， $\det(A^{-1})$ 不是整数，因此 $A^{-1}\notin \mathbb {Z} ^{n\times n}$ 与假设矛盾。

然后假设 $\det A=\pm 1$。那么 $A^{-1}$ 存在，并且伴随矩阵公式（定理 1.6.9）告诉我们 $A^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\textrm {cof}}(A)$。伴随矩阵的元素由 ${\textrm {cof}}(A)_{i,j}=(-1)^{i+j}\det A_{ji}$ 给出，其中 $A_{ji}$ 是矩阵 $A$ 去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的矩阵。显然，如果 $A\in \mathbb {Z} ^{n\times n}$，那么伴随矩阵的元素是整数，如果 $\det A=\pm 1$，逆矩阵的元素也是整数。

练习 M.8

a) 这里唯一的问题是假设 **$L$ 是 **$A$ 的右逆元。必然地，如果 **$A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$，我们必须有 **$L\in \mathbb {R} ^{n\times m}$，在这种情况下，积 **$AL$ 甚至没有定义。

b) 序列是正确的，并且表明等式 **$AX=ALB$ 成立。如果 **$L$ 也是 **$A$ 的右逆元，我们必然有 **$m=n$，以便积 **$AL$ ** 有定义。

练习 M.11

a) 我们有变量 **$x_{0,1},x_{-1,0},x_{0,0},x_{1,0},x_{0,-1}$ 和边界条件 **$\beta _{2,0}=\beta _{1,-1}=\beta _{-2,0}=\beta _{-1,-1}=\beta _{0,-2}=0$ 和 **$\beta _{1,1}=\beta _{0,2}=\beta _{-1,1}=1$。使用离散拉普拉斯方程，这些条件转换为方程

${\begin{array}{llcr}(0,1):&\beta _{0,2}+x_{0,0}+\beta _{1,1}+\beta _{-1,1}-4x_{0,1}&=&0\\(-1,0):&\beta _{-1,1}+x_{0,0}+\beta _{-2,0}+\beta _{-1,-1}-4x_{-1,0}&=&0\\(0,0):&x_{1,0}+x_{-1,0}+x_{0,1}+x_{0,-1}-4x_{0,0}&=&0\\(1,0):&\beta _{2,0}+x_{0,0}+\beta _{1,1}+\beta _{1,-1}-4x_{1,0}&=&0\\(0,-1):&\beta _{0,-2}+x_{0,0}+\beta _{-1,-1}+\beta _{1,-1}-4x_{0,-1}&=&0\\\end{array}}$,

简化为线性方程组

${\begin{pmatrix}-4&0&1&0&0\\0&-4&1&0&0\\1&1&-4&1&1\\0&0&1&-4&0\\0&0&1&0&-4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0,1}\\x_{-1,0}\\x_{0,0}\\x_{1,0}\\x_{0,-1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3\\-1\\0\\-1\\0\\\end{pmatrix}}$.

该方程组的解可以通过将等式左边乘以系数矩阵的逆矩阵得到。

b) 假设最大值在区域 $R$ 内的某个点 $x_{u,v}$ 上达到。由于 $x_{u,v}$ 是其四个相邻点的平均值，其中一个相邻点的值必须大于 $x_{u,v}$，这与假设矛盾。

c) 令$A$ 表示由离散狄利克雷问题的线性方程组的系数 $a_{ij}$ 写成的矩阵。我们有 $a_{ii}=-4$ 且 $a_{ij}\in \{0,1\}$ 当 $i\neq j$。利用每一行对角线上的元素，我们可以消去其他每一行对应的列。每一列最多有 4 个非零非对角线元素，每个元素的值最大为 1。因此，在进行行消元时，我们永远不会消去对角线元素。所以，我们可以将矩阵 $A$ 化为行阶梯形矩阵，且没有全为 0 的行。因此，该矩阵可逆，所以线性方程组有唯一解。