数学教材/代数（9780132413770）/第 4 章

练习 1.1

令 $f(M):F^{m\times n}\rightarrow F^{l\times p}$ 使得 $f(M)=AMB$ 其中 $A\in F^{l\times m},B\in F^{n\times p}$。那么，对于 $M,N\in F^{m\times n}$ 和 $\alpha ,\beta \in F$ 它成立 $f(\alpha M+\beta N)=A(\alpha M+\beta N)B=\alpha AMB+\beta ANB=\alpha f(M)+\beta f(N)$，所以 $f$ 是一个线性变换。

练习 1.3

矩阵 $A\in F^{m\times n}$ 是一个线性映射 $A:F^{n}\rightarrow F^{m}$。令 ${\mathsf {B}}=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ 是 $F^{n}$ 的一个基。那么空间 ${\textrm {im}}~A={\textrm {Span}}(A(v_{1}),\ldots ,A(v_{n}))$ 的维度最多为 $\min(n,m)$。然后，使用维度公式，我们有 $\dim({\textrm {im}}~A)+\dim(\ker A)=\dim F^{n}=n$，所以重新排列后得到 $\dim(\ker A)=n-\dim({\textrm {im}}~A)\geq n-\min(m,n)\geq n-m$.

练习 1.4

设 $A\in F^{m\times n}$ 是一个秩为 1 的矩阵。则 $A$ 的像空间是由单个向量（例如 $v\in F^{n}$）张成的，并且对于某个非零 $w\in F^{m}$，有 $Av=w$。我们可以假设 $v=(1,0,\ldots ,0)$，因为该向量在缩放和基变换后是唯一的。那么，$A$ 的核由向量 $e_{i}$ 给出，其中 $i=2,\ldots ,n$。接下来，考虑矩阵 $B={\frac {1}{v^{t}v}}wv^{t}$，使得 $Bv=w$ 以及 $Be_{i}=0,i=2,\ldots ,n$。很容易看出 $A$ 和 $B$ 描述了相同的线性变换，因此它们作为矩阵是相等的。 $B$ 的表示形式并不唯一，因为我们可以任意地缩放向量 $v$ 和 $w$，只要我们相应地缩放另一个向量即可。

练习 1.5

a) 很容易看出，对乘积空间进行逐坐标的向量空间运算会保留向量空间结构。

b) 令 $T(u,v)=u+v$. 那么我们有 $T(u_{1}+u_{2},v_{1}+v_{2})=u_{1}+v_{1}+u_{2}+v_{2}=T(u_{1},v_{1})+T(u_{2},v_{1})$ 和 $T(au,av)=au+av=aT(u,v)$, 所以 $T$ 是一个线性算子。

c) 我们有 $\dim({\textrm {im}}~T)+\dim(\ker T)=\dim(U\times W)$ 其中 $\ker T=\{(u,w)\in U\times W:u=-w\}=\{(v,-v):v\in U\cap W\}$ 所以 $\dim(\ker T)=\dim(U\cap W)$. 此外，根据定义我们有 ${\textrm {im}}~T=U\oplus W$, 并且 $\dim(U\times W)=\dim U+\dim W$. 因此，维数公式的形式为 $\dim(U\cap W)+\dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W$.

练习 2.1

我们可以写成 $A=a_{11}e_{11}+a_{12}e_{12}+a_{21}e_{21}+a_{22}e_{22}$， $B=b_{11}e_{11}+b_{12}e_{12}+b_{21}e_{21}+b_{22}e_{22}$ 和 $M=m_{11}e_{11}+m_{12}e_{12}+m_{21}e_{21}+m_{22}e_{22}$。我们有以下的乘法表

	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{21}$	$e_{22}$
$e_{11}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$0$	$0$
$e_{12}$	$0$	$0$	$e_{11}$	$e_{12}$
$e_{21}$	$e_{21}$	$e_{22}$	$0$	$0$
$e_{22}$	$0$	$0$	$e_{21}$	$e_{22}$

其中，列的第一个元素表示从右边乘以给定行的第一个元素的矩阵。 然后，$AM=(a_{11}m_{11}+a_{21}m_{12})e_{11}+(a_{12}m_{11}+a_{22}m_{12})e_{12}+(a_{11}m_{21}+a_{21}m_{22})e_{21}+(a_{12}m_{21}+a_{22}m_{22})e_{22}$。对于 $AMB$，我们然后在给定的基底下得到以下形式

${\begin{pmatrix}a_{11}m_{11}b_{11}+a_{21}m_{12}b_{11}+a_{11}m_{21}b_{12}+a_{21}m_{22}b_{12}\\a_{12}m_{11}b_{11}+a_{22}m_{12}b_{11}+a_{12}m_{21}b_{12}+a_{22}m_{22}b_{12}\\a_{11}m_{11}b_{21}+a_{21}m_{12}b_{21}+a_{11}m_{21}b_{22}+a_{21}m_{22}b_{22}\\a_{12}m_{11}b_{21}+a_{22}m_{12}b_{21}+a_{12}m_{21}b_{22}+a_{22}m_{22}b_{22}\end{pmatrix}}$.

练习 2.3

具有给定属性的矩阵满足方程 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\3x\end{pmatrix}}$。求解该方程得到矩阵必须具有形式 ${\begin{pmatrix}a&1-a\\c&3-c\end{pmatrix}}$ 对于任何 $a,c\in \mathbb {R} .$