数学教科书/代数 (9780817636777) 习题 26-50 的解答

练习 42

a

如果 a 和 b 有一个非平凡的公因子 k >= 2，那么 a = k*a' 且 b = k*b'，所以 (ad - bc) = k(a'd - b'c) = ±1。

或者，你必须基本上证明 a 和 b 是互质的；也就是说，分子和分母没有公因子。另一种说法是 $gcd(a,b)=1$.

令 $g=gcd(a,b)$. 我们可以将 $ad-bc=\pm 1$ 写成 $\left({\frac {a}{g}}\cdot gd-{\frac {b}{g}}\cdot gc\right)=g\left({\frac {a}{g}}d-{\frac {b}{g}}c\right)=\pm 1$. 因此 $g$ 必须是 -1 或 1，因此 a 和 b 是互质的。