数学教科书/证明与基础/第 1 章 的解答

练习 1.2.1

陈述：4. "美国有 49 个州"

非陈述：1. "今天天气很好" → 观点 2. "去睡觉" → 命令 3. "明天会下雪吗？" → 问题 5. 我喜欢吃水果，而你经常想着去西班牙旅行。 6. 如果我们今晚去，保姆会不高兴。 7. "如果你在家，星期四给我打电话" → 命令

练习 1.2.2

1

$4<3$ → 这是一个陈述。它断言 4 小于 3。这是假的，所以这是一个错误的陈述。

2

如果 $x\geq 2$ 那么 $x^{3}>1$ → 注意，这不是一个简单的陈述。可以称它为一个复合陈述，它有一个前提和一个结果。前提是陈述 $x\geq 2$：x 大于或等于 2。结果陈述是 $x^{3}>1$：x 的三次方大于 1。整个复合陈述基本上是在说，给定前提 ($x\geq 2$)，我们将得到结果 ($x\geq 2$)。本书后面将解释这种类型的陈述。

3

$y<7$ → 这是一个陈述，但它的真假取决于y的值。如果y取小于7的数字，则该陈述为真；如果y取大于或等于7的值，则该陈述变为假。

4

$x+y=z$ → 这也是一个陈述，但同样地，该陈述的真假取决于x、y和z的值。例如，x=4，y=3，z=7使该陈述为真。

5

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ → 这也是一个陈述。您可能在代数课程中见过它。实际上，我们可以证明无论a和b的值是什么，这个陈述都是真的，展开平方$(a+b)^{2}$。这可以被认为是一个**证明**，这是一个在本书后面展示的概念。

6

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ → 这也是一个陈述，您可能在之前见过它，它被称为勾股定理，描述了直角三角形的两条直角边（a和b）和斜边（c）之间的关系。可以证明，对于直角三角形，这个定理总是成立的。在其他情况下，它的真值取决于a、b的值。

7

如果$w=3$ 那么$z^{w}\neq 0$ → 这也是一个复合语句，类似于 **(2)** 中的语句，断言如果w的值为3，那么将z提高到w次幂将得到一个与零不同的值。同样，这取决于z的值，但是对于某些数字集合，可以证明这个陈述总是成立的，但是这将在本书后面的内容中得到更详细的解释。

练习 1.2.3

1

$P\land Q$ → 我喜欢水果，我不喜欢麦片。

2

$Q\lor R$ → 我不喜欢麦片，或者我会做煎蛋卷（注意，这也暗示了“我不喜欢麦片，而且我会做煎蛋卷”，这是一个在英语中丢失的重要数学区别）。

3

$\neg R$ → 我不会做煎蛋卷。（你可以说我不会做煎蛋卷，但是根据上下文，区分否定和陈述很重要）。

4

$\neg (P\lor Q)$ → 我不喜欢水果，或者我不喜欢麦片（这可能会与语句 $\neg P\lor Q$ 混淆。可以使用标点符号来区分，例如：我不喜欢水果，或者我不喜欢麦片。这里，逗号将语句 $\neg P$ 与 $Q$ 分开。根据德摩根定律，另一种说法是“我不喜欢水果，而且我不喜欢麦片”。

5

$\neg P\lor \neg Q$ → 我不喜欢水果，或者我喜欢麦片（这里我们将否定直接融入语句以使它更简洁）。

6

$\neg P\lor Q$ → 我不喜欢水果，或者我不喜欢麦片。

7

$(R\land P)\lor Q$ → 我知道怎么做煎蛋卷，而且我喜欢水果，或者我不喜欢麦片。

8

$R\land (P\lor Q)$ → 我知道怎么做煎蛋卷，而且我喜欢水果，或者我不喜欢麦片。

练习 1.2.4

在本练习中，我们使用各种形式来写条件语句。其中一些可能一开始不太清楚，因此请在书中回顾这些形式。在日常生活中，有许多方法可以表达条件，而且通常人们不会对语言过于严谨，而是依靠语境来理解所说的话。在数学中，语言非常重要，因此你必须非常小心，并尽量消除任何歧义。

1

$Z\rightarrow X$ → 如果我正在吃意大利面，那么我很开心。

2

$X\leftrightarrow Y$ → 当且仅当我在看电影时，我才感到开心。

3

$(Y\lor Z)\rightarrow X$ → 如果我在看电影，或者正在吃意大利面，那么我很开心。

4

$Y\lor (Z\rightarrow X)$ → 我在看电影，或者如果我正在吃意大利面，那么我很开心。

5

$(Y\rightarrow \neg X)\land (Z\rightarrow \neg X)$ → 我不开心，前提是我正在看电影，并且我假设我在吃意大利面。

6

$(X\land \neg Y)\leftrightarrow (Y\lor Z)$ → 我很开心，并且我没有看电影当且仅当我在看电影或吃意大利面。

练习 1.2.5

1

弗雷德不喜欢吃无花果。 → $\neg R$.

2

弗雷德有一头红头发，并且没有大鼻子。 → $X\land \neg Y$.

3

弗雷德有一头红头发，或者他喜欢吃无花果。 → $X\lor R$.

4

弗雷德喜欢吃无花果，并且他有一头红头发或者他有一个大鼻子。 → $R\land (X\lor Y)$.

5

弗雷德喜欢吃无花果，并且他有一头红头发，或者他有一个大鼻子。 → $(R\land X)\lor Y$.

6

弗雷德没有大鼻子，或者他有一头红头发，并非如此。 → $\neg (Y\lor X)$.

7

弗雷德没有大鼻子，或者他有一头红头发，并非如此。 → $\neg Y\lor X$.

8

弗雷德有一个大鼻子和一头红头发，或者他有一个大鼻子并且喜欢吃无花果。 → $(Y\land X)\lor (Y\land R)$.

练习 1.2.6

1

如果这房子有 30 年的历史，那么它很丑。→ $F\rightarrow G$.

2

如果房子是蓝色的，那么它很丑或者它有 30 年的历史。→ $E\rightarrow (G\lor F)$.

3

如果房子是蓝色的，那么它很丑，或者它有 30 年的历史。→ $(E\rightarrow G)\lor F$（我们将结果语句放在括号中以澄清并消除任何歧义。有时假定蕴涵优先于除双条件运算符之外的其他逻辑运算符，因此你可以从语句中删除一些括号。但最好使用括号来消除可能出现的任何歧义）。

4

房子不丑当且仅当它有 30 年的历史。→ $\neg G\leftrightarrow F$.

5

如果房子是蓝色的，那么它有 30 年的历史，并且如果它有 30 年的历史，那么它不丑。→ $(E\rightarrow F)\land (F\rightarrow \neg G)$.

6

房子丑陋的必要且充分条件是它既丑陋又存在 30 年历史。→ 请记住，当我们有“必要且充分”这个表达时，我们指的是双条件语句，因此：$G\leftrightarrow (G\land F)$.

练习 1.2.7

1

$A\lor C$→ 由于A为真，因此无论C的真值如何，析取（或）语句都为真。

2

$(C\land D)\lor B$→ C为假，因此无论D的真值如何，合取（与）语句都为假。并且由于B的真值也为假，因此析取语句将为假。

3

$\neg (A\land B)$→ B为假，因此合取语句为假。但随后出现了合取语句的否定，因此整个语句将为真。

4

$\neg D\lor \neg C$→ C为假，但经过否定后变为真。这使得整个析取语句为真。

5

$(D\land A)\lor (B\land C)$ → A 为真，因此左边的 AND 语句也为真。因此，整个 OR 语句为 **真**。

6

$C\lor [D\lor (A\land B)]$ → 由于 D 为真，因此（我们不需要担心 AND 语句）内部的 OR 语句为真，随后外部的 OR 语句为 **真**。

练习 1.2.8

1

$Z\rightarrow Y$ → 由于前件（Z）为假，因此该语句为 **真**（假前件意味着条件语句无论后件的真值如何都为真）。

2

$X\leftrightarrow Z$ → 语句 X 和 Z 的真值相同（假），因此该语句为 **真**。

3

$(Y\leftrightarrow W)\land X$ → X 的真值为假，因此整个语句为 **假**。

4

$W\rightarrow (X\rightarrow \neg W)$ → 在内部的条件语句中，我们有一个假前件（X），因此条件语句为真。然后外部的条件语句为 **真**，因为前件（W）和后件（内部的条件语句）都为真。

5

$[(Y\rightarrow W)\leftrightarrow W]\land \neg X$ → AND 运算符左边的内部条件语句为真，因为 Y 和 W 都为真。然后等价关系也为真，因此 AND 运算符整个左侧为真。由于 X 被否定，这使得 AND 运算符的右侧为真，因此整个语句为 **真**。

6

$(W\rightarrow X)\leftrightarrow \neg (Z\lor Y)$. → 等价关系的左侧为假，因为 W 是一个真的前件，而 X 是一个假的后件。等价关系的右侧也为假，因为 Y 为真使得 OR 部分为真，但否定改变了真值，因此它为假。我们得到：左侧为假，右侧为假，使得等价关系为 **真**。

练习 1.2.9

令 X = "Flora 喜欢水果"，Y = "Flora 不喜欢胡萝卜"，Z = "Flora 喜欢坚果"，W = "Flora 不喜欢芜菁"。我们假设所有这些语句都为真，它们的否定显然为假。

1

Flora 喜欢水果和胡萝卜 → $X\land \neg Y$. Y 语句的否定为假，因此整个语句为 **假**。

2

Flora 喜欢坚果或芜菁甘蓝，但她不喜欢胡萝卜。→ $(Z\lor \neg W)\land Y$. Z 的真值为真，所以 OR 部分为真。现在，Y 为真，所以 AND 部分为 **真**。

3

Flora 喜欢胡萝卜，或者她喜欢水果和坚果。→ $\neg Y\lor (X\land Z)$. X 和 Z 都为真，所以 AND 语句为真，进而 OR 语句为 **真**。

4

Flora 喜欢水果或坚果，而且她喜欢胡萝卜或芜菁甘蓝。→ $(X\lor Z)\land (\neg Y\lor \neg W)$. 由于 Y 和 W 都被否定，所以它们都为假，右边的 OR 语句变为假。这足以使整个语句为 **假**。

5

Flora 喜欢芜菁甘蓝，或者她喜欢水果，并且喜欢胡萝卜或芜菁甘蓝。→ $\neg W\lor (X\land (\neg Y\lor \neg W))$. 内部的 OR 为假，因为 Y 和 W 都被否定，所以它们都为假。因此，AND 语句变为假，这使得外部 OR 的右手边变为假。OR 的左手边为假（W 的否定，一个真的语句）。由于两边都是假，所以整个语句为 **假**。

练习 1.2.10

令 X = "Hector 喜欢豆子"，Y = "Hector 不喜欢豌豆"，Z = "Hector 不喜欢扁豆"，W = "Hector 喜欢葵花籽"。假设所有语句都为真，所以它们的否定都为假。

1

如果 Hector 喜欢豆子，那么他喜欢扁豆。→ $X\rightarrow \neg Z$. 由于有一个真的前件 (X) 和一个假的後件（Z 的否定），所以这个语句为 **假**。

2

Hector 喜欢扁豆当且仅当他喜欢豌豆。→ $\neg Z\leftrightarrow \neg Y$. 由于 Z 和 Y 都具有相同的真值（假），所以等价语句为 **真**。

3

Hector 喜欢葵花籽，如果他喜欢扁豆，那么他喜欢豆子。→ $W\land (\neg Z\rightarrow X)$. AND 右手边的後件为真，因为它有一个假的先件（Z 的否定）。左手边为真，所以整个语句为 **真**。

4

如果 Hector 喜欢豆子，那么他喜欢豌豆和葵花籽。→ $X\rightarrow (\neg Y\land W)$. AND 语句为假，因为 Y 被否定。有一个真的先件 (X) 和一个假的後件（AND 语句），所以这个语句为 **假**。

5

如果 Hector 喜欢扁豆，那么他喜欢葵花籽，或者 Hector 喜欢扁豆当且仅当他喜欢豌豆。→ $(\neg Z\rightarrow W)\lor (\neg Z\leftrightarrow \neg Y)$. 在等式右边，Y 和 Z 都被取反，所以两者都为假，并且由于它们的真值相同，所以等价关系为真。因此，OR 语句为 **真**。

6

对于 Hector 来说，喜欢豆子和扁豆的充分必要条件是，他喜欢豌豆或葵花籽。→ $(X\land \neg Z)\leftrightarrow (\neg Y\lor W)$. 等式左边为假，因为 AND 中有一个假语句（Z 的否定）。在等式右边，由于 OR 中有一个真语句（W），所以等式右边为真。但是，等式的两边真值不同，所以整个语句最终为 **假**。

练习 1.2.11

1

$P\land \neg Q$ → ${\begin{array}{c | c | c | c }P&Q&\neg Q&P\land \neg Q\\\hline T&T&F&F\\T&F&T&T\\F&T&F&F\\F&F&T&F\\\end{array}}$

2

$(R\lor S)\land \neg R$ → ${\begin{array}{c | c | c | c | c}R&S&\neg R&R\lor S&(R\lor S)\land \neg R\\\hline T&T&F&T&F\\T&F&F&T&F\\F&T&T&T&T\\F&F&T&F&F\\\end{array}}$

3

$X\lor (\neg Y\lor Z)$ → ${\begin{array}{c | c | c | c | c | c}X&Y&Z&\neg Y&\neg Y\lor Z&X\lor (\neg Y\lor Z)\\\hline T&T&T&F&T&T\\T&T&F&F&F&T\\T&F&T&T&T&T\\T&F&F&T&T&T\\F&T&T&F&T&T\\F&T&F&F&F&F\\F&F&T&T&T&T\\F&F&F&T&T&T\\\end{array}}$

4

$(A\lor B)\land (A\lor C)$ → $(P\land R)\lor \neg (Q\land S)$