数学教科书/证明和基础/第 2 章 的解答

练习 2.2.1

1

如果 $r$ 是一个实数，那么半径为 $r$ 的圆的面积是 $\pi r^{2}$.

2

如果有一条直线 $l$ 和一个不在 $l$ 上的点 $P$，那么只有一条包含 $P$ 且平行于 $l$ 的直线 $m$。

3

如果 $ABC$ 是一个边长分别为 $a,b,$ 和 $c$ 的三角形，那么

${\frac {a}{sinA}}={\frac {b}{sinB}}={\frac {C}{sinC}}$

4

如果 e 的指数为 x+y，则它等价于 e 的乘积，每个 e 分别乘以 x 和 y 的指数。

5

如果 $f$ 是区间 [a, b] 上的连续函数，且 $F$ 是任何满足 $F'(x)=f(x)$ 的函数，则 f(x) 在 [a,b] 上的积分等于 F(b) - F(a)。

练习 2.2.2

1

如果 $1|n\,$，则存在一个整数 q 使得 $1\cdot q=n$。令 q = n。

2

如果 $n|n\,$，则存在一个整数 q 使得 $n\cdot q=n$。令 q = 1。

3

如果 $m|n\,$，则存在一个整数 q 使得 $m\cdot q=n\,$。这意味着 $-mq=-n\,$，因此 $m\cdot -q=-n\,$，因此 $m|-n\,$。

练习 2.2.3

1

如果 n 是一个偶数，则对于某个整数 k，$n=2k$。

令 $j=3k$。

然后 $3n=3(2k)=2(3k)=2j$。

2

如果 n 是奇数，那么对于某个整数 k，$n=2k+1$.

设 $j=3k+1$.

那么 $3n=3(2k+1)=6k+3=6k+2+1=2(3k+1)+1=2j+1$.

练习 2.2.4

如果 n 是偶数，那么 $n=2k$。对于整数 j 和 k，设 $j=2k^{2}$.

$n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}=2(2k^{2})=2j$，所以 $n^{2}$ 是偶数。

如果 n 是奇数，那么 $n=2k+1$。对于整数 j 和 k，设 $j=2k^{2}+2k$.

$n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1=2j+1$，所以 $n^{2}$ 是奇数。

练习 2.2.6

如果 a|b 且 b|bm，那么 a|bm，这意味着对于某个整数 j，aj = bm。

同样地，如果 a|c 且 c|cn，那么 a|cn，这意味着对于某个整数 i，ai = cn。

我们令 x = (j+i)。

ax = aj+ai

ax = bm+cn

这意味着 a|(bm+cn)。

另一个证明：假设 $a|b$ 且 $a|c$。因此存在整数 $q$ 和 $r$ 使得 $aq=b$ 且 $ar=c$。定义整数 $k$ 为 $k=qm+rn$。那么

$ak=a(qm+rn)=(aq)m+(ar)n=bm+cn$

因为 $ak=bm+cn$，所以 $a|(bm+cn)$

习题 2.2.7

$a|b$ 意味着存在某个整数 x，使得 $ax=b$。

$c|d$ 意味着存在某个整数 y，使得 $cy=d$。

$ac|bd=ac|ax\cdot cy\,$

因此，

$acj=ax\cdot cy$ 对于某个整数 j 成立。

$acj=ac(xy)\,$

令 $j=xy\,$，因此 $ac|bd\,$.

练习 2.2.8

假设 $a|b$。因此存在一个整数 $q$，使得 $aq=b$。如果 $n$ 是一个正整数，定义整数 $k$ 为 $k=q^{n}$。那么

$a^{n}k=a^{n}(q^{n})=(aq)^{n}=b^{n}$

因为 $a^{n}k=b^{n}$，所以 $a^{n}|b^{n}$

练习 2.3.2

反证法证明

假设 $n$ 不是偶数，则 $n=2k+1$ 且 $n^{2}=(2k+1)^{2}=(2k+1)(2k+1)=(4k^{2}+4k)+1=2(2k^{2}+2k)+1$.

令 $i=(2k^{2}+2k)$，那么 $n^{2}=2i+1$，由此可知，如果 $n$ 不是偶数，那么 $n^{2}$ 也不是偶数。

练习 2.3.3

$a$ 不能整除 $bc$ 是正确的。假设 $a|b$。这意味着存在一个整数 $n$，使得 $b=an$。那么，我们有

$bc=(an)c=a(nc)$

我们可以考虑整数 $k=nc$。因此，我们有 $bc=ak$。那么 $a|bc$，矛盾！

练习 2.3.4

令 $a$ 为一个非零有理数，因此存在两个不同的非零整数 $m$ 和 $n$，使得 $a={\frac {m}{n}}$。令 $b$ 为一个无理数。

假设产品$ab$是一个有理数，因此存在不为零的整数$p$和$q$，使得$ab={\frac {p}{q}}$，也就是${\frac {m}{n}}b={\frac {p}{q}}$，由此可知$b={\frac {np}{mq}}$。

最后一个等式意味着$b$是一个有理数，这与我们假设$b$是无理数相矛盾。因此，我们可以得出结论，产品$ab$必须是无理数。

练习 2.3.5

假设$d|a$并且$d|b$，但$d$不能整除$c$。因此，存在整数$p$和$q$，使得$dp=a$并且$dq=b$。假设方程$ax+by=c$有一个解，其中$x$和$y$是整数，那么

$ax+by=c$

$(dp)x+(dq)y=c$

$d(px+qy)=c$

令$k=px+qy$，则$dk=c$，因此$d|c$，这是一个矛盾。