第5.1节

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定义 5.3.1 设 $A$ 和 $B$ 是非空集，设 $R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的关系，设 $x\in A$ 。关于 $R$ 的 $x$ 的关系类，记作 $R[x]$ ，是由以下定义的集合： $R[x]=\{y\in B|xRy\}$ .
定义 2.2.1 设 $a$ 和 $b$ 是整数。如果存在某个整数 $q$ 使得 $aq=b$ ，则称 $a$ 整除 $b$ 。如果 $a$ 整除 $b$ ，我们记为 $a|b$ ，并称 $a$ 是 $b$ 的因数，而 $b$ 被 $a$ 整除。

5.1.1

设 $aSb\Leftrightarrow a=|b|$ ，对于所有 $a,b\in \mathbb {Z}$ 。那么
$S[3]=\{b\in \mathbb {Z} :3Sb\}$ ，但根据关系 $S$ 的定义，有 $S[3]=\{b\in \mathbb {Z} :3=|b|\}$ ，满足此性质的元素只有 $3$ 和 $-3$ ，因为 $3=|3|=|-3|$ ，因此 $S[3]=\{-3,3\}$ 。类似地，我们有
$S[-3]=\{b\in \mathbb {Z} :-3Sb\}=\{b\in \mathbb {Z} :-3=|b|\}=\emptyset$ .
$S[6]=\{b\in \mathbb {Z} :6Sb\}=\{b\in \mathbb {Z} :6=|b|\}=\{-6,6\}$ .
令 $aDb\Leftrightarrow a|b$ ，对于所有 $a,b\in \mathbb {Z}$ 。那么
$D[3]=\{b\in \mathbb {Z} :3Db\}=\{b\in \mathbb {Z} :\exists k\in \mathbb {Z} {\text{ and }}b=3k\}=\{...,-6,-3,-1,0,1,3,6,...\}$ .
$D[-3]=\{b\in \mathbb {Z} :-3Db\}=\{b\in \mathbb {Z} :\exists k\in \mathbb {Z} {\text{ and }}b=-3k\}=\{...,-6,-3,-1,0,1,3,6,...\}$ .
$D[6]=\{b\in \mathbb {Z} :6Db\}=\{b\in \mathbb {Z} :\exists k\in \mathbb {Z} {\text{ and }}b=6k\}=\{...,-12,-6,0,6,12,...\}$ .
设 $aTb\Leftrightarrow b|a$ ，对于所有 $a,b\in \mathbb {Z}$ 。那么
$T[3]=\{b\in \mathbb {Z} :3Tb\}=\{b\in \mathbb {Z} :b|3\}=\{b\in \mathbb {Z} :\exists k\in \mathbb {Z} {\text{ and }}3=bk\}=\{-3,-1,1,3\}$ .
$T[-3]=\{b\in \mathbb {Z} :-3Tb\}=\{b\in \mathbb {Z} :b|-3\}=\{b\in \mathbb {Z} :\exists k\in \mathbb {Z} {\text{ and }}-3=bk\}=\{-3,-1,1,3\}$ .
$T[6]=\{b\in \mathbb {Z} :6Tb\}=\{b\in \mathbb {Z} :b|6\}=\{b\in \mathbb {Z} :\exists k\in \mathbb {Z} {\text{ and }}6=bk\}=\{-6,-3,2,-1,1,2,3,6\}$ .
设 $aQb\Leftrightarrow a+b=7$ ，对于所有 $a,b\in \mathbb {Z}$ 。那么
$Q[3]=\{b\in \mathbb {Z} :3Qb\}=\{b\in \mathbb {Z} :3+b=7\}=\{4\}$ .
$Q[-3]=\{b\in \mathbb {Z} :-3Qb\}=\{b\in \mathbb {Z} :-3+b=7\}=\{10\}$ .
$Q[6]=\{b\in \mathbb {Z} :6Qb\}=\{b\in \mathbb {Z} :6+b=7\}=\{1\}$ .

5.1.2

令 $S$ 为由 $(x,y)S(z,w)\Leftrightarrow y=3w{\text{ for all }}(x,y),(z,w)\in \mathbb {R} ^{2}$ 定义的关系。
$S[(0,0)]=\{(z,w)\in \mathbb {R} ^{2}:(0,0)S(z,w)\}=\{(z,0)\}$ 。因为 $y=3w\Rightarrow 0=3w$ ，因此 $w=0$ 。关系类的几何描述是： $x$ 轴。
$S[(3,4)]=\{(z,w)\in \mathbb {R} ^{2}:(3,4)S(z,w)\}=\{(z,{\dfrac {4}{3}})\}$ 。因为 $y=3w\Rightarrow 4=3w$ ，因此 $w={\dfrac {4}{3}}$ 。关系类的几何描述是：方程为 $y={\dfrac {4}{3}}$ 的直线。
设 $T$ 是由 $(x,y)T(z,w)\Leftrightarrow x^{2}+3y^{2}=7z^{2}+w^{2}{\text{, for all }}(x,y),(z,w)\in \mathbb {R} ^{2}$ 定义的关系。
$T[(0,0)]=\{(z,w)\in \mathbb {R} ^{2}:(0,0)T(z,w)\}=(0,0).Because0^{2}+3\cdot 0^{2}=7z^{2}+w^{2}\Rightarrow Z=0andw=o$ .
$T[(3,4)]=\{(z,w)\in \mathbb {R} ^{2}:(3,4)T(z,w)\}=\{(z,{\sqrt {57-7z^{2}}})\}$ 。因为 $3^{2}+3\cdot 4^{2}=7z^{2}+w^{2}\Rightarrow w={\sqrt {57-7z^{2}}}$ 。关系类的几何描述是 $y={\sqrt {57-7z^{2}}}$ 的图形。
设 $Z$ 是由 $(x,y)T(z,w)\Leftrightarrow x=z\vee y=w{\text{, for all }}(x,y),(z,w)\in \mathbb {R} ^{2}$ 定义的关系。
$Z[(0,0)]=\{(z,w)\in \mathbb {R} ^{2}:(0,0)Z(z,w)\}=\{(0,w)\vee (z,0)\}$ .
$Z[(3,4)]=\{(z,w)\in \mathbb {R} ^{2}:(3,4)Z(z,w)\}=\{(3,w)\vee (z,4)\}$ .