数学教科书解题/证明与基础/第 6 章

第 6.3 节

6.3.1

证明以下等式对所有自然数 n 成立。

(I) 1+3+5+...+(2n-1)=n^2

首先，我们证明基本情况。注意 1 = 1^2。接下来，假设对于任何整数 k，等式 (I) 成立。在 (I) 的两边加上 (2(k+1)-1)=2k+1。这产生了 1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k^2+2k+1。注意 k^2+2k+1 = (k+1)^2。因此，1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)^2。所以，如果 (I) 对给定的整数 k 成立，那么它也对 k+1 成立。由于已经证明 (I) 对 k=1 成立，因此根据归纳法，(I) 必然对所有自然数 n 成立。

(II)

6.3.11

微不足道