Hartshorne 代数几何/Čech 上同调解题

练习 4.7

问题陈述

令 $f$ 为一个方程，它在 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 中切出一个 d 次曲线 $X$。假设 $X$ 不包含点 $(1,0,0)$。使用 Čech 上同调计算 $H^{0},H^{1}$ 的维数，其中 $X$ 是 $X$。

解答

d 次曲线 $X$ 是 $f$ 的零点轨迹，因此我们有以下短精确序列

$0\rightarrow {\mathcal {O}}(-d)\rightarrow {\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow 0$

其中 ${\mathcal {O}}$ 在不加任何修饰的情况下表示 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 的结构层。具体来说，左侧的映射是乘以我们的多项式 f，它是一个 d 次映射 ${\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}$，但它是一个 0 次映射 ${\mathcal {O}}(-d)\rightarrow {\mathcal {O}}$。这是一个单射映射，我们精确地通过它的像进行商，因此它等价于与闭子概形相关的通常的短正合序列。

然后应用 H 函子得到一个长正合序列

$0\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}}(-d))\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}})\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow H^{1}({\mathcal {O}}(-d))\rightarrow H^{1}({\mathcal {O}})\rightarrow H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow H^{2}({\mathcal {O}}(-d))\rightarrow H^{2}({\mathcal {O}})\rightarrow H^{2}({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow 0$

根据维数消失，它在更高次消失。

现在弄清楚这些东西是什么

$H^{i}({\mathcal {O}}(e))=0$ 对于 $0<i<r$ 在射影空间 $\mathbb {P} _{A}^{r}$ 中。

这给了我们 $H^{1}({\mathcal {O}}(-d))=H^{1}({\mathcal {O}})=0$。此外，假设次数必须为正 $\Gamma ({\mathcal {O}}(-d))=0$。

$H^{2}({\mathcal {O}}_{X})$ 根据维数消失定理，实际上又消失了。 $\Gamma ({\mathcal {O}})=k$，无论是根据一般知识（常数是任何标准开仿射空间上唯一全局定义的零次齐次多项式），还是根据以下事实：$h^{0}({\mathcal {O}}(e))={\dbinom {r+e}{r}}$ 一般情况下；当 e = 0 时，这将在 k 上给出维数 1。($h^{i}:={\text{dim}}H^{i}$）。

我们将使用的最后一个技巧是塞尔对偶性（这里只针对射影空间）

$\Gamma ({\mathcal {O}}(-e))\cong (H^{r}(e-r-1))^{\vee }$，其中 $\cdot ^{\vee }$ 表示对偶。

由于向量空间的维数（在该上下文中，这些 H 是向量空间，因为 Hartshorne 中的 III 5.2，第 228 页）与其对偶的维数相同，所以 ${\text{dim}}H^{2}({\mathcal {O}})={\text{dim}}(H^{2}({\mathcal {O}}))^{\vee }$。此外，$(H^{2}({\mathcal {O}}))^{\vee }\cong \Gamma ({\mathcal {O}}(-r-1))$，其维数为${\dbinom {-1}{r}}=0$，所以它为 0。因此 $H^{2}({\mathcal {O}})=0$。

此外，${\text{dim}}H^{2}({\mathcal {O}}(-d))={\text{dim}}(H^{2}({\mathcal {O}}(-d)))^{\vee }$，并且利用相同的技巧（Serre 对偶性），$(H^{2}({\mathcal {O}}(-d)))^{\vee }\cong \Gamma ({\mathcal {O}}(d-r-1))$，其维度是众所周知的（例如，Vakil 14.1.c）${\dbinom {r+d-r-1}{r}}={\dbinom {d-1}{2}}={\dbinom {d-1}{d-3}}={\dfrac {1}{2}}(d-1)(d-2)$。

将以上所有结果结合起来，我们得到两个短正合序列

$0\rightarrow k\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow 0$

$0\rightarrow H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\rightarrow \Gamma ({\mathcal {O}}(d-r-1))\rightarrow 0$

因此我们有$h^{0}({\mathcal {O}}_{X})=1$ 和 $h^{1}({\mathcal {O}}_{X})={\dfrac {1}{2}}(d-1)(d-2)$。