Hartshorne 代数几何/射影态射解题
[Hartshorne 5.14]
Let $X$ be a subscheme of projective space $P^{r}_{A}$, where $A$ is a ring.
We define the \textbf{homogeneous coordinate rings} $S$ of $X$ for the given embedding
to be $A[x_{0},\cdots,x_{r}]/I$, where $I$ is the ideal $\Gamma_{\ast}(\mathscr{I}_{X})$.
A subscheme $X \subseteq P^{r}_{A}$ is \textbf{projectively normal} for the given embedding, if its homogenous
coordinate ring is an integral closed domain. Now assume that $k$ is an algebraic field, and that $X$ is a connected
normal closed subscheme of $P^{r}_{k}$. Show that for some $d>0$, the $d-$uple embedding of $X$ is projectively normal.
证明
证明：\textbf{ 论断 I}: $S$ 是一个整环。\\ 这很容易！\\
令 $S_{x_{i}}, 0\leq i\leq r,$ 为 $S$ 的一个局部化。它是一个分次环。对于任意元素 $x\in S_{x_{i}}$，我们定义 $x$ 的次数 $deg(x)$ 为 $x$ 的最低齐次部分的次数。构造一个环 $\Gamma=\{x|x\in \cap_{0\leq i\leq r}S_{x_{i}}, deg(x)\geq 0\}$，
$\Gamma\subseteq Q(S) $ a subring of the quotient filed of $S$. Obviously, we have $S\subseteq \Gamma$. \\
\textbf{ 论断 II}: $\Gamma$ 是 $S$ 上的整环，且 $\Gamma_{\geq n}=S_{\geq n}$，对于足够大的 $n$。\\
令 $y\in \Gamma$。那么根据 $\Gamma$ 的定义，我们有对于任意 $x_{i}, 0\leq i\leq r,$，存在整数 $n_{i}$，使得 $x_{i}^{n_{i}}y\in S$。因此，存在整数 $N$，使得 $ yS_{\geq N}\subseteq S$。特别是，我们有 $x_{0}^{N}y\in S$。另一方面，由于 $y$ 的次数 $deg(y)\geq 0$，我们有对于任意整数 $r$，$x^{N}_{0}y^{r}\in S$。因此我们有 $S[y]\subseteq S\frac{1}{x_{0}^{N}}$，其中 $S\frac{1}{x_{0}^{N}}$ 是一个有限生成的 $S$ 模。所以 $y$，以及整个 $\Gamma$ 是 $S$ 上的整环。\\
此外，由于 $S$ 是一个有限生成的域 $k$ 上的整环，我们有 $\Gamma$ 作为 $S$ 模，必须是有限的。根据我们上面使用的方法，我们可以证明对于任意 $y\in \Gamma$，存在整数 $N$，使得 $yS_{\geq N}\subseteq S$。因此，我们得到对于足够大的 $n$，$\Gamma_{\geq n}=S_{\geq n}$。\\
构造环 $^{i}\Gamma=\{x|x\in S_{x_{i}}, deg(x)\geq 0\}$，$0\leq i\leq r.$
Of course, we have $\Gamma=\cap_{0\leq i\leq r} {^{i}\Gamma}.$\\
另一方面，很容易看出 $^{i}\Gamma$ 等于环 $S_{(x_{i})}[x_{i}]$，分别是 $S_{(x_{i})}$ 上的多项式环。由于 $S_{(x_{i})}$ 是整闭域，所以 $^{i}\Gamma$，以及更进一步的 $\Gamma$ 也是整闭域。\\
由于 $k$ 是代数闭的，我们有 $\Gamma^{(d)}=S^{(d)}$，对于足够大的 $d$。\\
现在令 $y\in Q(\Gamma^{(d)}),$ $\Gamma^{(d)}$ 的商域，它是 $\Gamma^{(d)}$ 上的整环。然后由于 $\Gamma$ 是整闭的，我们有 $y\Gamma$。另一方面，由于 $y$ 是 $\Gamma^{(d)}$ 上的近整环，很容易看出 $y\in \Gamma^{(d)}$。所以我们证明了对于足够大的 $d$，-uple 嵌入 $S^{(d)}$ 是整闭的。--