设 X {\displaystyle X} 的亏格为 g {\displaystyle g} 。由于 X {\displaystyle X} 是 1 维的，存在一点 Q ∈ X {\displaystyle Q\in X} ， Q ≠ P {\displaystyle Q\neq P} 。选择一个 n > max ( g , 2 g − 2 , 1 ) {\displaystyle n>\max(g,2g-2,1)} 。那么对于度数为 n {\displaystyle n} 的除子 D = n ( 2 P − Q ) {\displaystyle D=n(2P-Q)} ， l ( K − D ) = 0 {\displaystyle l(K-D)=0} （例 1.3.4），因此黎曼-罗赫定理给出 l ( D ) = n + 1 − g > 1 {\displaystyle l(D)=n+1-g>1} 。因此，存在一个有效除子 D ′ {\displaystyle D'} ，使得 D − D ′ = ( f ) {\displaystyle D-D'=(f)} 。由于 ( f ) {\displaystyle (f)} 的度数为 0 (II 6.10)， D ′ {\displaystyle D'} 的度数为 n {\displaystyle n} ，所以 D ′ {\displaystyle D'} 不能有一个足够高的阶数的零点来消除 D {\displaystyle D} 在阶数为 2 n {\displaystyle 2n} 处的极点。因此， f {\displaystyle f} 在除 P {\displaystyle P} 之外的所有地方都是正则的。
