试卷 1

第一节

直观型试题本节包含 8 道选择题。每个问题有 4 个选项 (A)、(B)、(C) 和 (D)，其中只有一个是正确的。

第 21 题

(A) $1/4\,\!$
(B) $-1/4\,\!$
(C) $1/8\,\!$
(D) $-1/8\,\!$

答案

答案 (A)

解答

解析失败（语法错误）：{\displaystyle Sol.: \overrightarrow{P Q} \ = \hat i\ (-2 -3 μ) + \hat j\ (μ - 3) + \hat k\ (5μ - 4) \overrightarrow{P Q} \ is parallel to x - 4y + 3z = 1 ⇒ 1 (-2 -3μ) - 4 (μ - 3) + 3(5μ - 4) = 0 ⇒ μ = 1/4}

*第 22 题

从点 P(1, 8) 到圆 x2 + y2 - 6x - 4y - 11 = 0 作切线，切线与圆在点 A 和 B 相切。三角形 PAB 外接圆的方程为 (A) x2 + y2 + 4x - 6y + 19 = 0 (B) x2 + y2 - 4x - 10y + 19 = 0 (C) x2 + y2 - 2x + 6y - 29 = 0 (D) x2 + y2 - 6x - 4y + 19 = 0 答案 (B) 解答： (x - 1) (x - 3) + (y - 8) (y - 2) = 0 x2 + y2 - 4x - 10y + 19 = 0 P (1, 8) (3, 2) A B

第 23 题

设 f 是定义在区间 [0, 1] 上的非负函数。如果 x 2 0 ∫ 1− (f ′(t)) dt = x 0 ∫f (t)dt , 0 ≤ x ≤ 1，并且 f(0) = 0，那么 (A) f 1 1 2 2 ⎛ ⎞< ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ and f 1 1 3 3 ⎛ ⎞> ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (B) f 1 1 2 2 ⎛ ⎞> ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ and f 1 1 3 3 ⎛ ⎞> ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (C) f 1 1 2 2 ⎛ ⎞< ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ and f 1 1 3 3 ⎛ ⎞< ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (D) f 1 1 2 2 ⎛ ⎞> ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ and f 1 1 3 3 ⎛ ⎞< ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 答案。 (C) 解答： 1−(f ′(x))2 = f(x), 1 - (f′(x))2 = (f(x))2 (f′(x))2 = 1 - (f(x))2 Let y = f(x) dy f (x) dx = ′ dy 1 y2 dx ⎛ ⎞= ± − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 dy dx 1 y = ± − ∫ ∫ sin-1y = ±(x) + c f(0) = 0 ⇒ c = 0 ⇒ f(x) = sinx (∴ f(x) 是非负的) 因为 sinx < x ∀ x > 0 ⇒ f 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = sin 1 2 < 1 2 and f 1 1 3 3 ⎛ ⎞< ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

*第 24 题

设 z = x + iy 是一个复数，其中 x 和 y 是整数。则顶点为方程 z z3 + zz3 = 350 的根的矩形的面积为 (A) 48 (B) 32 (C) 40 (D) 80 答案 (A) 解答： Z Z 3 + Z Z3 = 350 Let Z = x + iy (x, y ∈Z) (x2 + y2) (x2 - y2) = 175 ⇒ x2 + y2 = 25 |x2 - y2 = 7 ⇒ x = ± 4, y = ± 3 (-4, 3) (4, 3) A(-4,-3) (4, -3) 6 8 ⇒ 面积 = 48 平方单位。

*第 25 题

经过椭圆 x2 + 9y2 = 9 的长轴端点 A 和短轴端点 B 的直线与其辅助圆相交于点 M。则以 A、M 和原点 O 为顶点的三角形的面积为 (A) 31 10 (B) 29 10 (C) 21 10 (D) 27 10 答案 (D) 解答： (0, 0) A(3, 0) x + 3y = 3 • 12 , 9 5 5 ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ M Δle OAM 的面积 = 1 27 2 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 27 10 IIT-JEE2009-Code-0-Questions and Solutions-Paper-I and II 11

第 26 题

如果 a, b, c 􀁇 􀁇 􀁇 和 d 􀁇 是单位向量，使得 (a×b).(c×d)= 􀁇 􀁇 􀁇 􀁇 1 且 a􀁇 .c􀁇 = 1 2 ，那么 (A) a,b, c 􀁇 􀁇 􀁇 不共面 (B) b, c,d 􀁇 􀁇 􀁇 不共面 (C) b, d 􀁇 􀁇 不平行 (D) a,d 􀁇 􀁇 平行，b, c 􀁇 􀁇 平行答案 (b) 解答： a ×b = | a ( a ×b).(c ×d)=1 ⇒ sinα . sinβ 1 2 (nˆ .nˆ ) = 1 其中 θ 是 1 2 n􀁇 和 n􀁇 之间的夹角 ⇒ sinα sinβ cosθ = 1 ⇒ sinα = 1, sinβ = 1 且 cosθ = 1 ⇒ α = π/2, β = π/2 且 θ = 0 现在，a . c 1 2 = ⇒ cosγ = 1/2 ⇒ γ = π/3 由于 a ×b || c×d ，a, b, c, d 共面有两种可能性，如下所示 b 􀁇 c 􀁇 a􀁇 d 􀁇 或 b 􀁇 d 􀁇 a􀁇 c 􀁇 60° 60° 所以选项 (C) 是正确的

*第 27 题

设 z = cosθ + isinθ。则当 θ = 2° 时，15 m 1 Im = Σ (z2m-1) 的值为 (A) 1 sin 2° (B) 1 3sin 2° (C) 1 2sin 2° (D) 1 4sin 2° 答案 (D) 解： 15 m 1 Im = Σ (Z2m-1) = Im 15 2m 1 m 1 Z − = Σ = Im 2 15 2 Z(1 (Z ) ) 1 Z ⎡ − ⎤ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ = Im 1 Z30 1 Z Z ⎡ ⎤ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ = Im 1 cos30 isin 30 2isin ⎡ − θ − θ⎤ ⎢⎣ − θ ⎥⎦ = 1 cos30 2sin − θ θ = 1 cos 60 2sin 2 − ° ° = 1 4sin 2° ===*Q28===只使用数字 1、2 和 3，且各位数字之和等于 10 的七位数的个数为 (A) 55 (B) 66 (C) 77 (D) 88 IIT-JEE2009-Code-0-Questions and Solutions-Paper-I and II 12 答案 (C) 解：情况一：使用的数字为 1、1、1、1、1、3、2 可以形成的整数个数 = 7! 5! = 42 情况二：使用的数字为 1、1、1、1、2、2、2 可以形成的整数个数 = 7! 3! 4! = 35 可以形成的整数总数 = 77。