加法合成

简介

如前所述第 1 节中，正弦波可以被认为是声音的基石。事实上，19 世纪数学家约瑟夫·傅里叶证明了任何周期函数都可以表示为一系列不同频率和幅度的正弦函数。这种用正弦项构造复杂声音的概念是加法合成的基础，有时也称为傅里叶合成，原因如上所述。除此之外，加法合成的概念也自管风琴问世以来就存在了，管风琴中不同音高不同的管道被组合起来创造声音或音色。

加法形式的简单框图可能看起来像图 6.1，它具有基于傅里叶级数的简化数学形式

f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin(f_{n}t)

其中 $a_{0}$ 是整个函数的偏移值（通常为 0）， $a_{n}$ 是每个正弦项的幅值权重，以及 $f_{n}$ 是频率乘数。使用数百个具有各自频率和幅值权重的项，我们可以设计和指定一些极其复杂的声音，尤其是在我们可以随时间推移调节参数的情况下。自然声音的一个关键特征是它们具有动态的频率响应，不会保持固定。然而，加法合成系统的一种流行方法是使用作为基频整数倍数的频率，这被称为谐波加法合成。例如，如果第一个振荡器的频率， $f_{1}$ 表示声音的基频为 100 Hz，则第二个振荡器的频率将为 $f2=2f_{1}$ ，第三个 $f3=3f_{1}$ 等等。这一系列正弦波产生了一个均匀的“谐波”声音，可以描述为“音乐”。另一方面，不以整数相关的振荡器频率关系被称为“非谐波”，往往比较嘈杂，并具有钟声或其他打击乐器的声音特征。

在加法合成中构建常见的谐波波形

如果我们知道第一个 $x$ 个正弦分量的振幅权重和频率成分，我们可以使用一个包含 $x$ 个振荡器的加法系统来重建该波形。常见的波形方波、锯齿波和三角波都是谐波波形，因为它们包含的正弦分量的频率都是基波频率的整数倍。区分它们的关键在于它们每个正弦分量的振幅权重都不同。**图 6.2** 展示了当一组具有独特振幅权重的正弦波叠加在一起时，时域波形的外观；在这种情况下，波形开始接近方波，并且随着添加的分量的增加，精度也随之提高。注意，为了构建方波，我们只包含奇数次谐波 - $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{6}$ 等的振幅权重为 0。下面是一个表格，展示了常见波形的偏振幅权重。

波形	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$a_{7}$	$a_{8}$	$a_{9}$	一般规则
正弦波	1	0	0	0	0	0	0	0	0
方波	1	0	1/3	0	1/5	0	1/7	0	1/9	$1/x$ 对于奇数 $x$ 。
三角波	1	0	-1/9	0	1/25	0	-1/49	0	1/81	$1/x^{2}$ 对于奇数 $x$ ，交替加减。
锯齿波	1	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7	1/8	1/9	$1/x$

从图 6.2和表格中可以得出的结论是，要创建与第 5 节中介绍的理想化数学波形形式非常接近的波形，需要大量的频率偏音。因此，很明显，加法合成技术可能不是生成这些形式的最佳方法。加法合成的优势在于我们可以控制声音的每个偏音成分，这可以产生一些非常复杂和奇妙的效果。通过不断修改每个振荡器的频率和振幅值，可能性是无限的。下面举例说明了控制每个成分振荡器的权重和频率的一些方法。

手动控制。用户使用外部控制设备（通常是 MIDI）控制一组振荡器，实时调整数值。多个人可以一起加入并根据自己的意愿更改/修改音色。

外部数据。从另一个来源获取数字信息并将其转换为适当的频率和振幅值。变化的数据源将有效地“控制”音色结果。众所周知，作曲家会使用来自自然资源的数据或从有趣的几何、随机和数学模型中得出的片段。

递归数据。给定一组源值和一组算法规则，控制参数会参考输入到系统中的上一个值以确定下一个结果。用户可能希望“干预”系统以将过程引导到新的路径。参见马尔可夫链。

但是，有一个主要考虑因素是计算能力：复杂的声音可能需要许多振荡器同时运行，这将给相关系统带来巨大的压力。

加法重合成

在第 1 节中提到，就像可以使用加法技术构建波形一样，我们也可以分析和分解波形。可以分析录制声音的频率偏音，然后使用一系列正弦偏音重新合成声音的表示形式。通过在频域计算偏音的频率和振幅权重（通常使用快速傅立叶变换），加法重合成系统可以为每个偏音在相同频率构建一个权重相等的正弦波。较旧的技术依赖于一组滤波器来分离每个正弦波；它们的振幅变化用作用户控制下新一组振荡器的控制函数。由于声音由系统内的振荡器组表示，因此用户可以调整任何一组偏音的频率和振幅。可以通过对音色或整体振幅包络进行更改来“重塑”声音。例如，可以将谐波声音改造成非谐波声音，反之亦然。