第 2 章 - 轨道力学

1.0 - 导言

 

 宇宙中的物体相对于彼此以及整个宇宙快速运动，主要是在引力的影响下。这与地球的固体表面形成对比，地球表面的各个部分彼此静止或移动速度非常慢。天体力学是研究太空自然物体运动的学科，而航天动力学或轨道力学则是将相同的原理应用于人造物体，并增加了推力和升力等人工力。

 行星、月球和太阳的运动自古以来就被人们研究，大约 500 年前开始进行科学研究。随着人造航天器的出现，该学科已经从仅仅观察自然天体转变为规划和执行到天体及其周围的探测任务。当然，该学科与空间系统相关联，因为前往目标目的地或轨道需要使用天体力学和轨道力学来计算该目的地将在哪里以及如何到达那里。

 当需要高精度时，太空旅行是一个复杂的学科。非球形物体的引力、光压等微弱效应必须考虑在内。本章只涵盖一些基本概念和简单的例子。更详细和深入的信息可以在

• 维基教科书航天动力学，以及维基百科文章类别：航天动力学，以及轨道力学文章中提到的航天动力学系列。
• 教科书，例如轨道力学与航天动力学，Hintz，2015，航天动力学基础 2 版，Bate，2020，以及航天动力学基础与应用 4 版，Vallado，2013
• 2008 年麻省理工学院公开课航天动力学。

2.0 - 轨道

 

 引力没有极限距离 - 宇宙中的每个物体都受到其他所有物体的引力影响。在实际应用中，来自宇宙大部分地区的引力抵消了，因为各个方向上存在着大致相同的物质量。剩下的更重的物体和更近的物体，它们的引力对于给定计算来说足够大。哪些物体重要取决于结果需要多精确。围绕单个大型物体进行的初步计算可以使用如下公式。多个物体通常遵循轨道，并相对于彼此运动。因此，它们的引力强度和方向会发生变化。因此，详细的计算使用考虑这些随时间变化的计算机模拟。

 轨道是物体在仅受引力影响的情况下将遵循的路径。围绕均匀单个物体的轨道是圆锥曲线，即切片圆锥体产生的形状。轨道偏心率将形状描述为一个数字，其中 0 表示圆形，0 到 1 之间表示椭圆形，1 表示抛物线，大于 1 表示双曲线。

 圆形轨道和椭圆轨道与被绕行的物体绑定在一起，并将重复。抛物线轨道和双曲线轨道不受该物体束缚，也不会重复，但会受到其引力的影响。简单的轨道计算只考虑最近的大质量物体。当该物体对其他物体的吸引力远大于其他物体时，以及在较短的时间段内，这种方法是合适的。更详细、更精确的计算必须考虑主要物体的非均匀性以及其他具有足够引力来影响结果精度的物体。

 一个理想的情况是单个均匀球形的大质量物体。围绕它的圆形轨道将具有恒定的速度和距离围绕该物体的质量中心。这也意味着它具有恒定的轨道周期，即绕该物体完成一次旋转并返回到起点所需的时间。任何物体周围的圆形轨道速度 v_o 可以从

$v_{o}={\sqrt {(}}GM/r)$

其中 G 是万有引力常数（6.67 x 10^-11 Nm²/s²），它将质量与引力联系起来，M 是物体的质量，以 kg 为单位，r 是到物体中心的半径，以米为单位。由于 G 是一个普遍的常数，并且物体的质量几乎是恒定的，所以可以使用标准引力参数 μ = GM。对于地球，如果我们忽略掉落的流星、大气泄漏以及我们发射出去的东西，这个值为 3.986 x 10¹⁴ m³/s²。

 一个围绕大型物体以半长轴 a（图 1-1）进行圆形或椭圆轨道运行的小物体的轨道周期 P（以秒为单位）是

$P=2\pi {\sqrt {(}}a^{3}/GM)$

 逃逸速度 v_e 是到达物体无限远处所需的速度，可以由

$v_{e}={\sqrt {(}}2GM/r)$

 由于该公式与圆形轨道的公式相同，只是平方根项中的系数为 2，因此逃逸速度是圆形轨道速度的 2 的平方根（1.414+）。椭圆轨道在最近点，或近地点处，其速度介于圆形轨道速度和逃逸速度之间。

2.1 - 轨道要素

 

 轨道要素是完全描述轨道位置和方向、轨道形状以及轨道物体在给定时间位置所需的参数。它们相对于较小的物体绕行的主要物体进行描述。这些要素会随着时间的推移而改变，因为受到其他物体的引力影响。它们还会因主要物体形状和质量分布的非理想性、相对论效应以及阻力和光压等外部力量而改变。更重要的要素包括

 轴 - 周期性轨道通常是椭圆形。椭圆形有一个长轴和一个短轴，它们分别是穿过椭圆中心的最长和最短距离。这两个轴相互垂直（图 1-1）。这些轴的一半，即从中心到椭圆边缘的距离，分别称为长半轴和短半轴，符号分别为a和b。长半轴通常用于描述轨道的总体大小。

 偏心率 - 椭圆的焦点是长轴上的两个点，使得从焦点到椭圆上任何点的距离之和为常数。一个小天体绕一个更大天体的轨道将使更大的天体位于椭圆轨道的某个焦点上。焦距f是从焦点到椭圆中心的距离。轨道的形状由偏心率e测量，它定义为

$e=f/a$

 近心点和远心点 - 偏心率越高，短轴与长轴长度之比越小，绕行天体与被绕行天体之间最接近点和最远点的差异越大。peri-和ap-的前缀指的是轨道的最近点和最远点。不同的后缀用于指示被绕行的天体，例如近地点和远地点是指地球轨道的最低点和最高点，而近日点和远日点是指与太阳的距离。一般符号q和Q用于最小距离和最大距离。这些距离是从较大天体的中心测量的。轨道高度是到地表在中心方向上的距离，始终较小。最小距离和最大距离可以通过以下公式求得

$q=a-f=a(1-e)$

$Q=a+f=a(1+e)$

$f=ae$

2.2 - 拉格朗日点

 

图 2-1 - 日地拉格朗日点的相对位置。

 给定两个大型天体，例如太阳和木星，其中第二个天体绕第一个天体运行，以及第三个小型天体，例如一颗小行星，相对于这两个大型天体，有五个点，净力使小型天体保持与这两个较大天体相对静止的位置。这些点被称为拉格朗日点（图 2-1），以发现它们的数学家之一命名。

 其中三个，标记为 L1、L2 和 L3，是不稳定的。如果你稍微偏离确切的点，你将倾向于进一步远离。另外两个，L4 和 L5，是稳定的。围绕这些点的轻微移动不会导致小型天体漂移，而是围绕这些点运行。L1、L2 和 L3 分别位于第二个大型天体的前面、后面和对面。L4 和 L5 位于第二个大型天体的同一轨道上，分别领先和滞后 60 度。

 作为最大的行星，木星在其拉格朗日点拥有最多的小行星群。这些小行星被称为木星特洛伊小行星，因为木星最早发现的几颗小行星以荷马的《伊利亚特》中特洛伊战争中的角色命名。截至 2023 年中期，已知有 12,600 颗此类小行星。更一般地说，在其他行星拉格朗日点上的天体也被称为 X 特洛伊小行星，其中 X 是它们相关的行星。

 由于大多数行星轨道都是椭圆形的，拉格朗日点会随着两个主要天体之间的距离变化而移动。因此，小行星并不都处于确切的点上，而是分布在它们附近的稳定区域，并在这些点周围移动。拉格朗日点也可能存在于一个拥有大型卫星的行星周围，例如地球的卫星。如果卫星离行星太远，太阳的影响会破坏稳定的点，拥有多个大型卫星也会破坏稳定的点。

 拉格朗日点对空间项目很有用，因为它们相对于相关的行星或卫星具有固定的位置，并且要么是稳定的，要么只需要很少的推进力来维持位置。除了在那里发现的天然天体外，许多航天器已经或计划利用这些位置。

2.3 - 旋转

 

 几乎所有天然天体都旋转，因此从天体中心到固定表面点方向相对于整个宇宙而言会发生变化。从实际角度看，明亮的恒星被用作旋转的参考系。这些被称为固定恒星，因为它们最初被认为固定在地球周围的天球上。实际上，恒星是不同距离的独立天体，它们彼此之间相互移动。需要现代仪器来测量它们的距离和运动。大多数天体的旋转速度相对于恒星的平均运动速度而言很快，因此恒星可以被视为静止的参考系。

 可以相对于此参考系，或相对于它所绕行的较大天体来测量天体的几个属性

 自转周期 - 是天体相对于恒星、太阳或行星（如果它绕行星运行）完成一次自转所需的时间。自转周期的最明显影响是地球上的昼夜循环。一些天体与它们绕行的母体之间形成潮汐锁定的旋转共振。这意味着自转周期是轨道周期的简单比率。月球是最明显的例子，比率为 1:1。结果是同一侧始终面向地球，并有轻微的摆动。水星处于 3:2 共振状态，这意味着它绕太阳运行两次，自转三次。

图 2-2 - 地球的自转轴相对于其轨道轴的倾斜度。

 自转定义了天体围绕其自转的轴线（图 2-2）。轴线与天体表面的交点称为极点，极点之间表面的中点称为赤道。对于形状不规则的小型天体，赤道可能没有明确定义。对于形状或多或少为圆形的较大天体，赤道与自转轴的距离最大。

 轴倾角 - 是天体轴线与天体轨道轴线之间的夹角。后者垂直于由轨道路径定义的轨道平面。大型天体的旋转惯性使其自转轴相对于恒星保持相对固定。例如，地球的北极指向北极星附近，但该点相对于其绕太阳运行的轨道轴倾斜 23.44 度。在一个轨道周期（1 年）内，先是北极指向太阳，然后是南极指向太阳，导致季节变化。

 自转速度 - 在旋转天体表面，围绕轴线的圆周运动会产生与重力相反的加速度。速度和加速度取决于距轴线的距离和自转周期。例如，在地球赤道，自转速度为 465 m/s，产生的加速度为 0.0338 m/s²，约为重力的 3%。因此，赤道的表观重量小于极地。

 根据组成，直径超过 400-1000 公里的天体内部力量大于其内部材料的强度。它们的自重力迫使它们形成一个近似圆形的形状，这种状态称为 **流体静力平衡**。固体材料的强度允许一些偏差，例如山脉和盆地。液体层将根据重力和旋转自由流动。由于旋转使某些部分的重力相对于其他部分降低，因此较大的天体将呈现扁平或细长的形状。较小的天体只被部分或根本没有迫使成圆形，并且可能非常不规则。

 任何天体的旋转都会降低它们在同一方向上的轨道速度和表面速度之间的差异。在地球的情况下，速度降低了 5.9%，使从低纬度向东发射更容易达到轨道。在小行星 **灶神星** 的情况下，表面旋转速度高达 93.5 米/秒，或轨道速度的 36.7%，这是一个显著的降低。非常小的物体，如果它们没有结构缺陷，甚至可以比围绕它们的轨道速度更快地旋转，从而产生一些区域，你无法在没有机械辅助的情况下停留在表面。

2.4 - 潮汐和摄动

 

 重力延伸至无穷远。因此，附近的较大物体，例如地球的月球和太阳，也会对地球的重力添加加速度分量。随着它们的方向和距离发生变化，这种加速度也会发生变化。例如，地球面向月球的一侧受到月球的重力拉动比另一侧强 6.6%，因为它的距离更近。

 近侧和远侧之间的重力差异被称为 **潮汐力**，因为它是在地球上引起海洋潮汐的来源。潮汐的产生是因为水可以自由地在月球相对于地球中心更弱或更强的拉力下移动。坚固的地壳受到其强度的限制更大。潮汐会扭曲地壳，但程度小于海洋。潮汐力也会影响其他卫星和行星。

 月球的轨道相对于地球的赤道倾斜，地球相对于太阳也倾斜。因此，组合的潮汐力不是直接向上从地球表面，而是在一个角度。这会导致地球的旋转轴相对于恒星改变方向，在 25,771 年内描绘出一个圆圈。这被称为 **岁差**。

 其他天体的较小重力也会以复杂的方式影响物体绕其所束缚的中心天体的轨道。例如，地球的轨道主要由太阳决定，但其他行星的重力会导致轨道发生变化。这些被称为 **摄动**。对于三个或更多天体之间的变化，没有简单的公式来描述。相反，需要使用复杂的数学或计算机计算。

 在长时间尺度上，摄动可以极大地影响轨道。这在木星和彗星的情况下最为明显。**长周期彗星** 通常接近逃逸速度，因此木星巨大质量引起的微小速度变化会极大地改变它们的轨道。这可能导致它们变成短周期彗星，停留在太阳附近，或被完全弹出太阳系。

3.0 - 速度图

 

 与地球不同，地球上的运动涉及必须克服的摩擦，而太空是一个几乎没有摩擦的环境。因此，距离不像速度变化或 **Δv** 那么重要，速度变化需要能量或推进剂来产生。数学中的希腊字母 delta 表示值的改变，因此在空间系统工作中，速度变化通常写为“delta-V”。

 图 2-3 展示了近似最小理想 delta-V 值（单位为 km/s）。这些值相对于水平轴上的太阳逃逸速度，以及相对于垂直轴上的行星、一些卫星和小行星（一直到木星）的逃逸速度。轴的比例不同。其他表格和图表可以在 **Delta-V 预算** 文章中找到，或者可以针对特定任务单独计算。

 没有绝对参考系来测量速度。该图使用逃逸速度作为零值。它具有“要离开此重力井，你必须增加这么多速度”的物理含义。术语 **重力井** 是通过与水井的类比使用的，就像你必须爬出来才能摆脱它一样。达到逃逸速度的物体可以自由地前往其他地方。太阳表面不是一个好的参考点，因为目前已知技术无法到达那里。由于必须增加速度才能逃逸，因此这些值是负数。如果你拥有超过逃逸重力井所需的足够速度，则在远距离处剩余的速度被称为 **超额速度**。

 **总任务速度** - 是图中垂直和水平速度变化之和。例如，要从地球前往火星，你首先必须增加速度以爬出地球的重力井，增加更多速度以在太阳的重力井中改变轨道，然后减速以进入火星的重力井。

 在图中，这意味着沿着垂直线从地球表面到顶线（即太阳系轨道（11.18）），加上水平线段从地球轨道到火星轨道（2.3），加上垂直线段到火星表面（5.03）。这给出了 18.5 公里/秒的总任务速度。这必须由各种推进、引力辅助或阻力机动来提供。要返回地球，则逆转这些步骤。

 该图显示了理论值（单次脉冲逃逸）。实际速度变化将更高，因为（1）机动不是完全有效的，（2）轨道是椭圆形的并且倾斜，以及（3）大气阻力等损耗阻碍了预期的变化。损耗用 **理想速度**（你在没有重力井的情况下在真空中会达到的速度）与你在给定情况下达到的实际速度之间的差异来衡量。因此，该图不是进行任务规划的精确方法。它旨在提供一个粗略的估计，作为规划的起点。

 **速度带** - 在每个行星或卫星的垂直轴上都有两个速度区域。较低的 **亚轨道** 区域（细蓝线）是当有足够的速度离开物体，但没有达到稳定轨道时。这些轨道将再次与表面相交。它们可以用来在表面上的点之间旅行，但不能用于在多个轨道中保持运动。较高的 **轨道带**（粗蓝线）表示有足够的速度进行重复轨道。轨道的形状很重要，但对于圆形轨道，该带中最低点是一个刚好位于表面上方的轨道，而最高点是一个刚好快到足以从其重力井中逃逸的轨道。

 重力随着距离的平方而减小。因此，在表面附近，小的高度变化需要大的速度变化。相反，在接近逃逸速度时，小的速度变化会产生大的高度变化，而在逃逸速度时，它会理论上产生无限的变化。实际上，多个重力井相互重叠，因此从地球逃逸只是将你置于更大的太阳重力井中，而从太阳逃逸则将你置于更大的银河系重力井中。

 **太阳轨道** - 顶部蓝线代表围绕太阳的轨道，远离局部重力井。标出了两个最大小行星 4 灶神星（-0.35）和 1 谷神星（-0.51）的表面，但这两个小行星的轨道带，以及大多数较小行星体的整个重力井，太小而无法显示。相反，近地天体和火星与木星之间的主小行星带的太阳速度范围用粗水平箭头表示。太阳系中所有小物体的速度都分布在整个顶线。两个标记的范围只是具有特殊兴趣。木星和太阳的表面，以及它们的亚轨道范围，由于它们的重力井非常深，超出了此图的比例，只显示了木星四个大卫星的内部和外部。

图 2-3 - 太阳系速度图。

 

4.0 - 动力飞行

 

 **动力飞行** 涉及受人为力量影响的轨迹和轨道，除了自然力量之外。它最初应用于飞机，但已扩展到空间系统。人为力量可以在内部产生，也可以从外部施加。最常见的内部例子是来自化学火箭发动机。外部力量的例子包括强大的激光对目标施加光压，以及使用高压气体加速弹丸的固定枪。

 飞行的动力部分可能持续很短时间，就像火箭发射进入轨道一样。在那之后，它会滑行，只受重力和其它自然力量的影响。另一方面，太阳能电动发动机可能会在大部分或整个飞行或任务期间运行。

4.1 - 上升轨迹

 

 地球表面的圆形轨道速度为 7910 米/秒。在赤道上，地球以 465 米/秒的速度向东旋转。理论上，运输系统必须提供 7445 米/秒的差值才能达到轨道。对于许多运输方式，地球大气会导致损失，这些损失会增加所需的理论速度。设计目标是找到最有效的飞行路径，或 **轨迹**，以最大限度地减少损失。

 在地球上，化学动力运载火箭通常一开始会直线向上发射，这样可以最大限度地减少与大气阻力的对抗时间。垂直速度的增加不会影响轨道速度，因为它们是垂直的。它所做的是帮助火箭到达一个大气阻力最小且轨道稳定的最终高度。最佳的上升轨迹会很快从垂直倾斜到水平。只需向上爬升到足够的高度，以摆脱大气层并最小化阻力。

 重力会阻碍火箭的垂直加速度。在推力等于重量的极限情况下，火箭不会移动，所有推进剂都会浪费。当推力大于重量时，只有剩余的推力才能提供加速度。重力损失描述的是火箭实际获得的 m/s 与在没有重力的情况下获得的 m/s 之间的差值。阻力损失类似地，是如果不存在大气层，火箭将获得的速度与实际获得的速度之间的差值。获得足够的高度以脱离大气层需要增加势能，这也需要消耗推进剂。

 理想速度是在没有这些效应的情况下，火箭在开放空间中将获得的速度。这是推进系统必须提供的性能。实际速度是火箭实际获得的速度。在地球上，火箭典型的理想速度大约为 9000 m/s，才能进入轨道。因此损失约为 1500 m/s，即实际 ΔV 的 20% 以上。

 从数学上来说，从一个非旋转天体的表面进入轨道，需要火箭将速度从静止速度（零）改变到一个能够使有效载荷保持在轨道上的速度。速度的总变化量是加速度 a 在时间上的积分

$\int _{0}^{t_{orbit}}a\,dt=\int _{0}^{t_{orbit}}{T \over m}-{L \over m}-g\,dt$

其中，T 是推力，m 是飞行器质量，L 是其他损失，g 是与推力相反的重力分量。所有这些值在上升过程中都可能发生变化，因此通常使用计算机用小的时间增量来计算。在一个旋转的天体上，初始速度是局部旋转速度，而不是零。

4.2 - 质量比

 

 火箭以高速喷射一部分质量来产生推力。速度的总理想变化量 ΔV 可以从齐奥尔科夫斯基火箭方程中找到，该方程以独立推导出该方程的人之一的名字命名。其中，排气速度为 v_e，ln 是自然对数函数，初始质量和最终质量分别为 m₀ 和 m₁，则

$\Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}$

 初始质量和最终质量之差代表所使用的推进剂或反应质量。初始质量和最终质量之比称为质量比，对于典型的多级火箭，该比率在 8 到 20 之间。最终质量包括剩余的飞行器硬件以及有效载荷质量。有效载荷是任何打算到达所需轨道或目的地的东西。如果有效载荷质量设置为零，则对于特定技术，就会达到最大 ΔV，而需要超过此值的任务是不可能的。

4.3 - 级数

 

 飞行器总初始质量的一定比例将是其自身的硬件。从上面的火箭方程可以看出，即使有效载荷为零，飞行器也能够达到的最大速度。当所需的飞行任务速度接近或超过此速度时，丢弃一些空空的飞行器储罐和发动机将允许继续飞行。从剩余的飞行器质量开始，可以计算出新的质量比和 ΔV。这被称为级数，所得出的设计为多级火箭。总理想速度是每级产生的速度的总和。

 各级按最后使用顺序编号，即第一级、第二级，依此类推。最后使用之所以被提及，是因为各级可以并联工作。第一个要丢弃的级将获得较低的级数。一个例子是航天飞机，其中固体助推器与轨道器的发动机并联工作，直到助推器耗尽并被丢弃。因此，助推器是第一级，而轨道器加上外部燃料箱构成了第二级或上级。

 进入地球轨道所需的飞行速度大约是目前使用的最佳液体推进剂排气速度的两倍。因此，火箭方程得出的理论质量比为 e² 或 7.39，最终质量为 13.5%。这个百分比接近典型设计的硬件质量，没有留下有效载荷。因此，级数通常用于进入地球轨道的火箭。

 飞行器设计除了优化质量比之外，还涉及其他因素。其中之一是经济效率，即每单位有效载荷质量的成本。在包含了所有设计因素之后，大多数从地球发射的运载火箭使用两级或三级，具体取决于它们打算到达的轨道。