狭义相对论/数学方法

向量

物理效应涉及事物对其他事物的作用，从而产生位置、张力等的改变。这些效应通常取决于相互作用事物的强度、接触角、分离等，而不是任何绝对参考系，因此用相互作用事物的相对位置和长度来描述支配相互作用的规则是有用的，而不是用任何固定的视点或坐标系来描述。向量被引入物理学以允许这种相对描述。

在初级物理学中使用向量往往会回避对它们的真正理解。它们是一个新的概念，就像数字本身一样独特，它们通过一系列公式与其他数学和几何联系起来，例如线性组合、标量积等。

向量被定义为“有向线段”，这意味着它们是在特定方向上绘制的线。将时间作为几何实体引入意味着这个向量定义有点过时，一个更好的定义可能是，向量是按照空间和时间中连续点序列排列的信息。向量有长度和方向，方向是从早到晚。

向量用箭头符号终止的线表示以显示方向。一个从左向右移动大约三厘米的点可以表示为

如果向量在坐标系内表示，它在该系统的每个轴上都有分量。这些分量通常不从坐标系的原点开始。

由粗箭头表示的向量在坐标轴上具有分量 a、b 和 c，这些分量是坐标轴上的长度。如果向量从原点开始，则分量仅成为向量终点的坐标，向量被称为终点的位矢。

向量的加法

如果两个向量连接起来，使得一个向量的终点是下一个向量的起点，则这两个向量的和被定义为从第一个向量的起点到第二个向量的终点绘制的第三个向量

c 是 a 和 b 的和

c = a + b

如果 a 的分量为 x1、y1、z1，而 b 的分量为 x2、y2、z2，则这两个向量之和的分量为 (x1+x2)、(y1+y2) 和 (z1+z2)。换句话说，当向量相加时，是分量在数值上相加，而不是向量本身的长度。

向量加法的规则

1. 交换律 a + b = b + a

2. 结合律 (a + b) + c = a + (b + c)

如果零向量（没有长度）标记为 0

3. a + (-a) = 0

4. a + 0 = a

向量乘以标量的规则

对分量和向量加法的讨论表明，如果向量 a 具有分量 a、b、c，则 qa 具有分量 qa、qb、qc。向量乘法的意义如下所示

下面的向量 c 被加了三次，这相当于将它乘以 3。

1. 分配律 q(a + b) = qa + qb 和 (q + p)a = qa + pa

2. 结合律 q(pa) = qpa

还有 1 a = a

如果向量加法和乘以标量的规则适用于一组元素，则称它们定义了向量空间。

线性组合和线性相关

形式为

$q_{1}\mathbf {a_{1}} +q_{2}\mathbf {a_{2}} +q_{3}\mathbf {a_{3}} +....+q_{m}\mathbf {a_{m}}$

被称为向量的线性组合。

在线性组合中乘以标量的向量集被称为向量的跨度。使用“跨度”一词是因为标量 (q) 可以取任何值——这意味着向量空间中由跨度定义的任何子集都可以包含从该子集中得出的向量。

假设有一组向量 (${a_{1},a_{2},....,a_{m}}$)，如果可以使用任何线性组合将这些向量中的一个用其他向量表示出来，那么这组向量被称为线性相关。如果无法使用任何线性组合将这些向量中的任何一个用其他向量表示出来，则这组向量被称为线性无关。

换句话说，如果标量存在这样的值

(1). $\mathbf {a_{1}} =q_{2}\mathbf {a_{2}} +q_{3}\mathbf {a_{3}} +....+q_{m}\mathbf {a_{m}}$

该集合被称为线性相关。

有一种方法可以确定线性相关性。从 (1) 可以看出，如果将 $q_{1}$ 设置为负一，那么

$q_{1}\mathbf {a_{1}} +q_{2}\mathbf {a_{2}} +q_{3}\mathbf {a_{3}} +....+q_{m}\mathbf {a_{m}} =0$

因此，一般来说，如果一个线性组合可以写成一个零向量的和，那么向量集 ($\mathbf {a_{1},a_{2},....,a_{m}} )$ 不是线性无关的。

如果两个向量是线性相关的，那么它们位于同一条直线上（无论 a 和 b 在直线上哪里，都可以找到标量来产生一个线性组合，该线性组合是一个零向量）。如果三个向量是线性相关的，那么它们位于同一条直线上或同一个平面上（共线或共面）。

维度

如果向量空间中的 n+1 个向量是线性相关的，那么 n 个向量是线性无关的，该空间被称为具有 n 维。n 个向量集被称为向量空间的基。

标量积

也称为“点积”或“内积”。标量积是一种从向量之间的关系中消除角度度量问题的方法，正如韦尔所说，它是一种比较任意倾斜的向量的长度的方法。

考虑两个具有公共原点的向量

$\mathbf {a}$ 在邻边的投影是

$P=|\mathbf {a} |cos\theta$

其中 $|\mathbf {a} |$ 是 $\mathbf {a}$ 的长度。

标量积定义为

(2) $\mathbf {a.b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |cos\theta$

注意，如果 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 垂直，则 $cos\theta$ 为零。这意味着如果标量积为零，那么构成它的向量是正交的（相互垂直）。

(2) 还允许将 $cos\theta$ 定义为

$cos\theta =\mathbf {a.b} /(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |)$

标量积的定义还允许根据向量本身的概念定义向量的长度。向量与其自身的标量积是

$\mathbf {a.a} =|\mathbf {a} ||\mathbf {a} |cos0$

cos 0（零的余弦）为 1，因此

$\mathbf {a.a} =a^{2}$

这是我们第一个关于向量和标量之间的直接关系。这可以表示为

(3) $a={\sqrt {\mathbf {a.a} }}$

其中 a 是 $\mathbf {a}$ 的长度。

性质

1. 线性 $[G\mathbf {a} +H\mathbf {b} ].\mathbf {c} =G\mathbf {a.c} +H\mathbf {b.c}$

2. 对称性 $\mathbf {a.b} =\mathbf {b.a}$

3. 正定性 $\mathbf {a.a}$ 大于或等于 0

4. 对向量加法的分配律 $\mathbf {(a+b).c} =\mathbf {a.c+b.c}$

5. 施瓦茨不等式 $|\mathbf {a.b} |\leq ab$

6. 平行四边形等式 $|\mathbf {a} +\mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} -\mathbf {b} |^{2}=2(|\mathbf {a} |^{2}+|\mathbf {b} |^{2})$

从向量物理学的角度来看，标量积最重要的性质是标量积用坐标表示的表达式。

7. $\mathbf {a.b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

这根据坐标表示了向量的长度（勾股定理）

8. $\mathbf {a.a} =a^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

公式 7 的推导如下：

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}$

其中 $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ 是沿着坐标轴的单位向量。由 (4) 可知

$\mathbf {a.b} =(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} ).\mathbf {b} =a_{1}\mathbf {i} .\mathbf {b} +a_{2}\mathbf {j} .\mathbf {b} +a_{3}\mathbf {k} .\mathbf {b}$

但 $\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k}$

所以

$\mathbf {a.b} =b_{1}a_{1}\mathbf {i.i} +b_{2}a_{1}\mathbf {i.j} +b_{3}a_{1}\mathbf {i.k} +b_{1}a_{2}\mathbf {j.i} +b_{2}a_{2}\mathbf {j.j} +b_{3}a_{2}\mathbf {j.k} +b_{1}a_{3}\mathbf {k.i} +b_{2}a_{3}\mathbf {k.j} +b_{3}a_{3}\mathbf {k.k}$

$\mathbf {i.j,i.k,j.k,}$ 等等都为零，因为向量是正交的，还有 $\mathbf {i.i,j.j}$ 和 $\mathbf {k.k}$ 都为 1（这些都是定义为长度为 1 个单位的单位向量）。

利用这些结果

$\mathbf {a.b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

矩阵

矩阵是按矩形排列的一组数字。它们在线性代数中尤为重要，因为它们可以用来表示线性方程的元素。

11a + 2b = c

5a + 7b = d

上述方程中的常数可以用矩阵表示

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}11&2\\5&7\\\end{bmatrix}}$

矩阵的元素通常用小写字母符号表示

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}}$

如果所有对应的元素相等，则称矩阵相等。

例如：如果 $a_{ij}=b_{ij}$

那么 $\mathbf {A} =\mathbf {B}$

矩阵加法

矩阵加法是通过将一个矩阵的各个元素加到另一个矩阵的对应元素来实现的。

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

或 $\mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B}$

矩阵加法具有以下性质

1. 交换律 $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$

2. 结合律 $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C} =\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )$

和

3. $\mathbf {A} +(-\mathbf {A} )=0$

4. $\mathbf {A} +0=\mathbf {A}$

从矩阵加法可以看出，矩阵 $\mathbf {A}$ 和数字 p 的乘积就是 $p\mathbf {A}$，其中矩阵的每个元素都分别乘以 p。

矩阵的转置

当矩阵的行和列互换时，矩阵就被转置了。

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

$\mathbf {A^{T}} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

注意，主对角线元素在转置后保持不变。

如果矩阵等于其转置，则该矩阵是对称的，例如：$a_{kj}=a_{jk}$.

如果 $\mathbf {A^{T}} =-\mathbf {A}$，则该矩阵是反对称的，例如：$a_{kj}=-a_{jk}$。反对称矩阵的主对角线由元素为零的元素组成。

其他类型的矩阵

对角矩阵：主对角线以上和以下的所有元素均为零。

${\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\\\end{bmatrix}}$

单位矩阵：用 I 表示，是对角矩阵，其中主对角线的所有元素均为 1。

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

矩阵乘法

矩阵乘法是根据确定线性变换系数的问题来定义的。

考虑两个坐标系之间的线性变换集，这些坐标系共享一个共同的原点，并且通过坐标轴的旋转相互关联。

两个坐标系相对于彼此旋转

如果有三个坐标系 x、y 和 z，它们可以从一个坐标系变换到另一个坐标系

$x_{1}=a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}$

$x_{2}=a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}$

$y_{1}=b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2}$

$y_{2}=b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2}$

$x_{1}=c_{11}z_{1}+c_{12}z_{2}$

$x_{2}=c_{21}z_{1}+c_{22}z_{2}$

通过替换

$x_{1}=a_{11}(b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2})+a_{12}(b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2})$

$x_{2}=a_{21}(b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2})+a_{22}(b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2})$

$x_{1}=(a_{11}b_{11}+a_{12}(b_{21})z_{1}+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})z_{2}$

$x_{2}=(a_{21}b_{11}+a_{22}(b_{21})z_{1}+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})z_{2}$

因此

$c_{11}=(a_{11}b_{11}+a_{12}(b_{21})$

$c_{12}=(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})$

$c_{21}=(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})$

$c_{22}=(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})$

系数矩阵为

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}}$

从线性变换中，A 和 B 的乘积定义为

$\mathbf {C} =\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})&(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})\\(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})&(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})\end{bmatrix}}$

在讨论标量积时，我们发现，对于一个平面，标量积的计算方式为：$\mathbf {a.b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$，其中 a 和 b 是向量 a 和 b 的坐标。

现在，数学家将矩阵的行和列定义为向量。

列向量为 $\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\end{bmatrix}}$

行向量为 $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\end{bmatrix}}$

矩阵可以被描述为向量，例如

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {a_{1}} \\\mathbf {a_{2}} \end{bmatrix}}$

和

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {b_{1}} \mathbf {b_{2}} \end{bmatrix}}$

矩阵乘法定义为向量之间的标量积，因此

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a_{1}.b_{1}} &\mathbf {a_{1}.b_{2}} \\\mathbf {a_{2}.b_{1}} &\mathbf {a_{2}.b_{2}} \end{bmatrix}}$

根据标量积的定义， $\mathbf {a_{1}.b_{1}} =a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}$ 等等。

在一般情况下

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a_{1}.b_{1}} &\mathbf {a_{1}.b_{2}} &.&\mathbf {a_{1}.b_{n}} \\\mathbf {a_{2}.b_{1}} &\mathbf {a_{2}.b_{2}} &.&\mathbf {a_{2}.b_{n}} \\.&.&.&.\\\mathbf {a_{m}.b_{1}} &\mathbf {a_{m}.b_{2}} &.&\mathbf {a_{m}.b_{n}} \end{bmatrix}}$

这被称为行乘以列的乘法（例如：行向量乘以列向量）。第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同，否则乘法未定义。

矩阵乘法后，乘积矩阵的行数与第一个矩阵相同，列数与第二个矩阵相同。

${\begin{bmatrix}1&3&4\\6&3&2\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}2\\3\\7\end{bmatrix}}$ 有 2 行 1 列 ${\begin{bmatrix}39\\35\end{bmatrix}}$

例如：第一行是$1*2+3*3+4*7=39$，第二行是$6*2+3*3+2*7=35$

$\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-1&3\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}2&3&4\\3&2&1\\5&1&3\end{bmatrix}}$ 有2行和3列，得到的结果是${\begin{bmatrix}21&11&13\\16&7&16\end{bmatrix}}$

注意，$\mathbf {BA}$ 无法计算，因为要进行矩阵乘法， **第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。**

矩阵乘法的性质

1. 不满足交换律 $\mathbf {AB} \neq \mathbf {BA}$

2. 满足结合律 $\mathbf {A(BC)} =\mathbf {(AB)C}$

$(k\mathbf {A} )\mathbf {B} =k(\mathbf {AB} )=\mathbf {A} (k\mathbf {B} )$

3. 满足对矩阵加法的分配律

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC}$

矩阵乘法不满足交换律，因此$\mathbf {C} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathbf {CA} +\mathbf {CB}$ 是一个单独的情况。

4. 消去律不总是成立

$\mathbf {AB} =0$ 不意味着 $\mathbf {A} =0$ 或者 $\mathbf {B} =0$

矩阵乘法存在一种交换律。这涉及到主对角线上的值都相等的标量矩阵。例如

$\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\end{bmatrix}}$

在这种情况下，$\mathbf {AS} =\mathbf {SA} =k\mathbf {A}$。如果标量矩阵是单位矩阵: $\mathbf {AI} =\mathbf {IA} =\mathbf {A}$.

线性变换

一个简单的线性变换，例如

$x_{1}=a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}$

$x_{2}=a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}$

可以表示为

$\mathbf {x} =\mathbf {Ay}$

例如

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}$

和 $y_{1}=b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2}$

$y_{2}=b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2}$

作为： $\mathbf {y} =\mathbf {Bz}$

使用结合律

$\mathbf {x} =\mathbf {A} (\mathbf {Bz} )=\mathbf {ABz} =\mathbf {Cz}$

因此

$\mathbf {C} =\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})&(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})\\(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})&(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})\end{bmatrix}}$

如前所述。

指标符号

考虑一个简单的坐标旋转

$x^{\mu }$ 被定义为 $x_{1}$ , $x_{2}$

$x^{\nu }$ 被定义为 $x_{1}^{'}$ , $x_{2}^{'}$

标量积可以写成

$\mathbf {s.s} =g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$

其中

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

被称为这个二维空间的度量张量。

$\mathbf {s.s} =g_{11}x_{1}x_{1}^{'}+g_{12}x_{1}x_{2}^{'}+g_{21}x_{2}x_{1}^{'}+g_{22}x_{2}x_{2}^{'}$

现在，$g_{11}=1$, $g_{12}=0$, $g_{21}=0$, $g_{22}=1$ 所以

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}^{'}+x_{2}x_{2}^{'}$

如果没有坐标旋转，标量积是

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}+x_{2}x_{2}$

$s^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

这就是勾股定理。

求和约定

作为下标和上标出现的索引将被求和。

$g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=g_{11}x_{1}x_{1}^{'}+g_{12}x_{1}x_{2}^{'}+g_{21}x_{2}x_{1}^{'}+g_{22}x_{2}x_{2}^{'}$

通过将$\nu$提升为上标，它将被从求和中移除，即：。

$g_{\mu }^{\nu }x^{\mu }x^{\nu }=g_{1\nu }x_{1}x_{\nu }^{'}+g_{2\nu }x_{2}x_{\nu }^{'}$

索引表示法中的矩阵乘法

考虑

列乘以行

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}x_{1}y_{1}&x_{1}y_{2}\\x_{2}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}$

矩阵乘积$\mathbf {XY} =x_{i}y_{j}$ 其中 i = 1, 2 j = 1, 2

由于没有求和，因此索引都是下标。

行乘以列: ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}x_{1}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}$

矩阵乘积 $\mathbf {XY} =\delta _{ij}x^{i}y^{j}$

其中 $\delta _{ij}$ 被称为克罗内克δ，当 $i\neq j$ 时值为 0，当 $i=j$ 时值为 1。它等同于单位矩阵的指标表示。

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

在求和时，一个i值是下标，另一个是上标。

一般来说，矩阵可以用以下任意一种表示：

$M_{i}^{j}$ , $M_{ij}$ , $M_{j}^{i}$ , $M^{ij}$，取决于哪个下标或上标正在求和。

指标表示中的向量

向量可以表示为基向量的线性组合。

$\mathbf {x} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}$

在指标表示中，它表示为：$x=a^{i}e_{i}$

指标表示中的线性变换

考虑 $\mathbf {x} =\mathbf {Ay}$，其中 $\mathbf {A}$ 是系数矩阵，$\mathbf {x}$ 和 $\mathbf {y}$ 是坐标矩阵。

用指标表示法，这可以写成

$x^{\mu }=A_{\nu }^{\mu }x^{\nu }$

这可以写成

$x_{1}=a_{11}x_{1}^{'}+a_{12}x_{2}^{'}+a_{13}x_{3}^{'}$

$x_{2}=a_{21}x_{1}^{'}+a_{22}x_{2}^{'}+a_{23}x_{3}^{'}$

$x_{3}=a_{31}x_{1}^{'}+a_{32}x_{2}^{'}+a_{33}x_{3}^{'}$

用指标表示法的标量积

用指标表示法，标量积为

$\mathbf {x.y} =\delta _{ij}x^{i}y^{j}$

分析曲面和变换

在19世纪初，人们发现诸如欧几里得平行公设等问题需要发展一种新的几何学类型，这种几何学可以处理曲面以及实数和虚数平面。这种方法的基础是高斯对曲面的分析，它使我们能够使用各种坐标系和位移在任何类型的曲面上进行运算。

基础几何分析作为狭义相对论的入门很有用，因为它暗示了坐标变换中出现的系数的物理意义。

假设曲面上有一条线。这条线的长度可以用坐标系来表示。二维空间中的一小段线 $\Delta s$ 可以用勾股定理表示为

$\Delta s^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}$

假设曲面上还有另一个坐标系，有两个轴：x₁, x₂，如何用这些坐标表示线的长度？高斯解决了这个问题，对于两个坐标轴，他的分析非常简单明了

图1

可以使用基础微分几何来描述平面上的位移，这些位移与曲面上的位移有关

$\Delta Y=\Delta x_{1}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}$

$\Delta Z=\Delta x_{1}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}}$

然后假设短线的位移由一个公式给出，该公式被称为度量，例如勾股定理

$\Delta S^{2}=\Delta Y^{2}+\Delta Z^{2}$

然后可以将 $\Delta Y$ 和 $\Delta Z$ 的值代入该度量

$\Delta S^{2}=(\Delta x_{1}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}})^{2}+(\Delta x_{1}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}})^{2}$

展开后，得到以下结果

$\Delta S^{2}=$

$({\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}})\Delta x_{1}\Delta x_{1}$

$+({\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}})\Delta x_{2}\Delta x_{1}$

$+({\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}})\Delta x_{1}\Delta x_{2}$

$+({\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}})\Delta x_{2}\Delta x_{2}$

这可以用求和符号表示

$\Delta S^{2}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}({\frac {\delta Y}{\delta x_{i}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{k}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{i}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{k}}})\Delta x_{i}\Delta x_{k}$

或者，使用指标表示法

$\Delta S^{2}=g_{ik}\Delta x^{i}\Delta x^{k}$

其中

$g_{ik}=({\frac {\delta Y}{\delta x^{i}}}{\frac {\delta Y}{\delta x^{k}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x^{i}}}{\frac {\delta Z}{\delta x^{k}}})$

如果坐标没有合并，则 $\Delta s$ 依赖于两组坐标。用矩阵表示法

$\Delta s^{2}=\mathbf {g} \Delta \mathbf {x} \Delta \mathbf {x}$

变成

${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\Delta x_{2}\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}$

其中 a、b、c、d 代表 $g_{ik}$ 的值。

因此

${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}a+\Delta x_{2}c&\Delta x_{1}b+\Delta x_{2}d\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}$

结果是

$(\Delta {x_{1}}a+\Delta {x_{2}}c)\Delta {x_{1}}+(\Delta {x_{1}}b+\Delta {x_{2}}d)\Delta {x_{2}}=\Delta {x_{1}}^{2}a+2\Delta {x_{1}}\Delta {x_{2}}(c+b)+\Delta {x_{2}}^{2}d$

因此

$\Delta {s}^{2}=\Delta {x_{1}}^{2}a+2\Delta {x_{1}}\Delta {x_{2}}(c+b)+\Delta {x_{2}}^{2}d$

$\Delta {s}^{2}$ 是一个**双线性形式**，它取决于 $\Delta {x_{1}}$ 和 $\Delta {x_{2}}$。它可以用矩阵表示法写成

$\Delta {s}^{2}=\mathbf {\Delta {x}^{T}A\Delta {x}}$

其中 A 是一个包含 $g_{ik}$ 值的矩阵。 这是一个被称为二次形式的双线性形式的特殊情况，因为同一个矩阵 ($\mathbf {\Delta {x}}$) 出现了两次；在广义双线性形式 $\mathbf {B} =\mathbf {x^{T}Ay}$ 中（矩阵 $\mathbf {x}$ 和 $\mathbf {y}$ 是不同的）。

如果曲面是欧几里得平面，则 gik 的值是

${\begin{bmatrix}\delta {Y}/\delta {x_{1}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{1}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}\\\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{2}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{2}}\end{bmatrix}}$

这变成

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

所以矩阵 A 是单位矩阵 I，并且

$\Delta {s}^{2}=\mathbf {\Delta {x^{T}}I\Delta {x}}$

和

$\Delta {s}^{2}=\Delta {x_{1}}^{2}+\Delta {x_{2}}^{2}$

再次得到了勾股定理。

如果曲面是从其他度量（例如 $\Delta {s^{2}}=-\Delta {Y}^{2}+\Delta {Z}^{2}$）推导出来的，则 gik 的值是

${\begin{bmatrix}-\delta {Y}/\delta {x_{1}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{1}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&-\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}\\-\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&-\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{2}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{2}}\end{bmatrix}}$

变成

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

这允许原始度量被恢复，即： $\Delta {s^{2}}=-\Delta {x_{1}}^{2}+\Delta {x_{2}}^{2}$.

有趣的是，将几何分析与矩阵代数的变换进行比较，矩阵代数的变换是在上面关于指标符号的部分推导出来的

$\mathbf {s.s} =g_{11}x_{1}x_{1}^{'}+g_{12}x_{1}x_{2}^{'}+g_{21}x_{2}x_{1}^{'}+g_{22}x_{2}x_{2}^{'}$

现在，

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

即： $g_{11}=1$，$g_{12}=0$，$g_{21}=0$，$g_{22}=1$ 所以

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}^{'}+x_{2}x_{2}^{'}$

如果没有坐标旋转，标量积是

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}+x_{2}x_{2}$

$s^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

这恢复了勾股定理。然而，读者可能已经注意到，勾股定理在标量积的推导中一开始就被假设了（见上文）。

几何分析表明，如果假设了度量并且允许微分几何的条件存在，那么可以从另一个坐标系中推导出一个坐标系。这种分析也可以使用矩阵代数来进行，前提是相同的假设。

上面的例子使用了简单的二维勾股度量，一些其他的度量，比如四维闵可夫斯基空间的度量

$\Delta S^{2}=-\Delta T^{2}+\Delta X^{2}+\Delta Y^{2}+\Delta Z^{2}$

可以用来代替勾股定理。