狭义相对论/相对论动力学

相对论动力学

为了推导相对论动力学中的量，也许最直接的方法是使用拉格朗日力学和最小作用原理。

简介

回想一下最小作用原理，该原理指出机械系统应该具有称为作用量的量 $S$。这种量在系统的实际运动中被最小化（换句话说，$\delta S=0$）。

相对论系统的作用量应该是

• 标量：这意味着洛伦兹变换不会影响这个量
• 一个积分，其被积函数是一阶微分

满足上述两个标准的唯一量是时空间隔 $ds$，或其标量倍数。简而言之，我们可以得出结论，作用量必须具有以下形式

$S=\kappa \int ds$

回想一下时空间隔的定义 $ds$

$ds={\sqrt {c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}}$

从平方根中提取 $cdt$，并注意到 ${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}=v^{2}$，我们有

$ds=cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

因此

$S=c\kappa \int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt$

现在，作用积分可以表示为两个固定时间之间的拉格朗日的时间积分

$S=\int Ldt$

然后我们可以直接读出拉格朗日

$L=c\kappa {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

现在剩下的是确定 $\kappa$ 的表达式。在这一点上，我们应该注意到，对于低速度 $v$，这种相对论拉格朗日表达式应该类似于经典自由拉格朗日表达式，$L={\frac {1}{2}}mv^{2}$。为了比较这两个拉格朗日，我们在平方根上执行泰勒展开

$L=c\kappa \left(1-{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+O(v^{4})\right)$

第一项，$c\kappa$，是一个常数。这不会影响运动方程（例如，参见欧拉-拉格朗日方程）。第二项，展开后是$-\kappa {\frac {v^{2}}{2c}}$。为了简化为经典极限，我们可以令$\kappa =-mc$。

因此，相对论拉格朗日量为

$L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

动量和能量

回想一下，规范动量由$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}$给出，并改写$v^{2}=v_{i}v^{i}$（采用爱因斯坦求和约定），我们有

$p_{i}={\frac {1}{2}}{\frac {2mv_{i}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=\gamma mv_{i}$

其中$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$。

有了规范动量的定义，我们现在可以构建哈密顿量

$H=\Sigma p_{i}v_{i}-L=\gamma mv^{2}+mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

由于哈密顿量随时间保持不变，它代表能量。

经过一些代数运算，我们得到

$H=\gamma mc^{2}$

对于静止物体，$\gamma =1$，上述方程简化为著名的质能等价关系

$E=mc^{2}$

可以从上述表达式推导出另外两个将动量和能量联系起来的表达式

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$

${\vec {p}}=E{\frac {\vec {v}}{c^{2}}}$

动量和能量的另一种方法

在经典力学中，动量等于速度乘以质量。我们在相对论中也可以使用相同的定义，看看它会带我们到哪里。

${\underline {p}}=m_{0}{\underline {u}}=m_{0}\gamma (\mathbf {v} ,c)$

你可能有时会看到这里出现的乘积 m₀γ 被称为 相对论质量，但我们不会使用这种方法。

质量 m₀ 通常被称为 静止质量，以区别于相对论质量。

四动量的空间分量显然是经典动量，乘以一个 γ 因子。在远小于 c 的速度下，这将近似于 1。

时间分量是 m₀γc。要了解这意味着什么，我们可以看看它在 v/c 很小时的值。

$m_{0}\gamma c={\frac {m_{0}c}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=m_{0}c\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}+\cdots \right)$

此展开式中的第一项是一个常数。

第二项是

${\frac {m_{0}v^{2}}{2c}}$

我们认识到这是经典动能除以 c。

现在，在动能的定义中添加一个常数不会有任何实质性的区别，因为重要的只是能量的变化，所以我们可以将相对论动量的这个时间分量识别为能量除以 c。

${\underline {p}}=(\gamma \mathbf {p} ,E/c)$

然后我们有

$E=m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+\cdots$

即使静止，粒子也具有动能，

$E=m_{0}c^{2},\,$

这是最著名的相对论方程。

质量

在爱因斯坦提出的狭义相对论的最初版本中，相对论质量如下所示

$m=\gamma m_{0}$

然而，在对狭义相对论的更现代的解释中，质量$m_{0}$被认为是对所有参考系的不变量，而$\gamma m_{0}$被用作$m$的替代。这种约定使物理学家能够跟踪正在考虑的是惯性质量还是引力质量。

力

在经典力学中，我们有

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

我们可以通过用四维矢量替换三维矢量，用 τ 替换 t 来得到等效的相对论方程，得到

${\underline {F}}={\frac {d{\underline {p}}}{d\tau }}$

如果静止质量是恒定的，就像所有简单系统一样，我们可以把它改写成

${\underline {F}}=m{\underline {a}}$

我们已经知道了a，所以现在我们可以写成

${\underline {F}}=\gamma ^{4}\left(\mathbf {F} ,{\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }{c}}\right)$

这个的时间部分本质上是功率，即能量随时间变化的速率，正如人们可能从能量是动量的时空间部分所预期的那样。