狭义相对论/数学方法

向量

物理效应涉及物体作用于其他物体，从而导致位置、张力等的改变。这些效应通常取决于相互作用物体的强度、接触角、分离等，而不是任何绝对参考系，因此使用相对位置和相互作用物体的长度来描述控制相互作用的规则，而不是使用任何固定视角或坐标系是有用的。向量被引入物理学是为了允许这样的相对描述。

初级物理学中向量的使用往往避免了对它们是什么的真正理解。它们是一个新的概念，像数字本身一样独特，通过一系列公式（如线性组合、标量积等）与数学和几何的其他部分相关联。

向量被定义为“有向线段”，这意味着它们是在特定方向上绘制的线。将时间作为几何实体引入意味着这种对向量的定义相当过时，更好的定义可能是向量是按空间和时间中的连续点序列排列的信息。向量具有长度和方向，方向是从早到晚。

向量由带箭头符号的线表示，以显示方向。从左到右移动约三厘米的点可以用下图表示。

如果向量在坐标系内表示，它在该系统的每个轴上都有分量。这些分量通常不从坐标系的原点开始。

由粗箭头表示的向量在坐标轴上具有分量 a、b 和 c。如果向量从原点开始，则分量仅仅是向量终点的坐标，向量被称为终点的位矢。

向量的加法

如果将两个向量连接起来，使得一个向量的终点是另一个向量的起点，则这两个向量的和被定义为从第一个向量的起点到第二个向量的终点绘制的第三个向量。

c 是 a 和 b 的和

c = a + b

如果 a 的分量为 x1、y1、z1，b 的分量为 x2、y2、z2，则这两个向量的和的分量为 (x1+x2)、(y1+y2) 和 (z1+z2)。换句话说，当向量相加时，是分量在数值上相加，而不是向量本身的长度。

向量加法的规则

1. 交换律 a + b = b + a

2. 结合律 (a + b) + c = a + (b + c)

如果零向量（没有长度）用 0 表示

3. a + (-a) = 0

4. a + 0 = a

向量与标量乘法的规则

对分量和向量加法的讨论表明，如果向量 a 的分量为 a、b、c，则 qa 的分量为 qa、qb、qc。向量乘法的含义如下所示。

下面的向量 c 相加了三次，这相当于将它乘以 3。

1. 分配律 q(a + b) = qa + qb 和 (q + p)a = qa + pa

2. 结合律 q(pa) = qpa

还有 1 a = a

如果向量加法和与标量相乘的规则适用于一组元素，则它们被称为定义了一个向量空间。

线性组合和线性相关性

形式为

$q_{1}\mathbf {a_{1}} +q_{2}\mathbf {a_{2}} +q_{3}\mathbf {a_{3}} +....+q_{m}\mathbf {a_{m}}$

被称为向量的线性组合。

在线性组合中乘以标量的向量集被称为这些向量的生成空间。使用“生成空间”这个词是因为标量 (q) 可以取任意值——这意味着生成空间定义的向量空间的任何子集都可以包含从中派生的向量。

假设有一组向量 (${a_{1},a_{2},....,a_{m}}$)，如果可以利用任何线性组合将这些向量中的一个表示为其他向量的形式，则该集合被称为线性相关。如果不可能利用任何线性组合将这些向量中的任何一个表示为其他向量的形式，则该集合被称为线性无关。

换句话说，如果标量存在这样的值

(1). $\mathbf {a_{1}} =q_{2}\mathbf {a_{2}} +q_{3}\mathbf {a_{3}} +....+q_{m}\mathbf {a_{m}}$

则称该集合线性相关。

判断线性相关性有一个方法。从 (1) 可以看出，如果将 $q_{1}$ 设置为负一，那么

$q_{1}\mathbf {a_{1}} +q_{2}\mathbf {a_{2}} +q_{3}\mathbf {a_{3}} +....+q_{m}\mathbf {a_{m}} =0$

因此，一般来说，如果线性组合可以写成等于零向量的和，那么向量集 ($\mathbf {a_{1},a_{2},....,a_{m}} )$ 不是线性无关的。

如果两个向量线性相关，那么它们位于同一条直线上（无论 a 和 b 在直线上什么位置，都可以找到标量来生成线性组合，该线性组合为零向量）。如果三个向量线性相关，那么它们位于同一条直线上或同一平面上（共线或共面）。

维度

如果向量空间中的 n+1 个向量线性相关，那么 n 个向量线性无关，并且称该空间的维度为 n。称 n 个向量集为向量空间的基。

标量积

也称为“点积”或“内积”。标量积是一种从向量之间关系中去除角度度量问题的方法，正如韦尔所说，它是比较任意倾斜向量的长度的方法。

考虑两个具有共同原点的向量

$\mathbf {a}$ 在邻边的投影是

$P=|\mathbf {a} |cos\theta$

其中 $|\mathbf {a} |$ 是 $\mathbf {a}$ 的长度。

标量积定义为

(2) $\mathbf {a.b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |cos\theta$

请注意，如果$cos\theta$ 为零，则$\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 垂直。这意味着如果标量积为零，则组成它的向量是正交的（相互垂直）。

(2) 也允许将$cos\theta$ 定义为

$cos\theta =\mathbf {a.b} /(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |)$

标量积的定义也允许根据向量本身的概念来定义向量的长度。向量与其自身的标量积为

$\mathbf {a.a} =|\mathbf {a} ||\mathbf {a} |cos0$

cos 0（零的余弦）为一，所以

$\mathbf {a.a} =a^{2}$

这是我们第一个关于向量和标量的直接关系。这可以表示为

(3) $a={\sqrt {\mathbf {a.a} }}$

其中 a 是$\mathbf {a}$ 的长度。

性质

1. 线性 $[G\mathbf {a} +H\mathbf {b} ].\mathbf {c} =G\mathbf {a.c} +H\mathbf {b.c}$

2. 对称性 $\mathbf {a.b} =\mathbf {b.a}$

3. 正定性 $\mathbf {a.a}$ 大于或等于 0

4. 对向量加法的分配性 $\mathbf {(a+b).c} =\mathbf {a.c+b.c}$

5. 施瓦茨不等式 $|\mathbf {a.b} |\leq ab$

6. 平行四边形等式 $|\mathbf {a} +\mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} -\mathbf {b} |^{2}=2(|\mathbf {a} |^{2}+|\mathbf {b} |^{2})$

从向量物理学的角度来看，标量积最重要的性质是用坐标表示标量积。

7. $\mathbf {a.b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

这使我们能够根据坐标（勾股定理）得到向量的长度，从

8. $\mathbf {a.a} =a^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

7 的推导是

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}$

其中 $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ 是沿坐标轴的单位向量。从 (4)

$\mathbf {a.b} =(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} ).\mathbf {b} =a_{1}\mathbf {i} .\mathbf {b} +a_{2}\mathbf {j} .\mathbf {b} +a_{3}\mathbf {k} .\mathbf {b}$

但是 $\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k}$

所以

$\mathbf {a.b} =b_{1}a_{1}\mathbf {i.i} +b_{2}a_{1}\mathbf {i.j} +b_{3}a_{1}\mathbf {i.k} +b_{1}a_{2}\mathbf {j.i} +b_{2}a_{2}\mathbf {j.j} +b_{3}a_{2}\mathbf {j.k} +b_{1}a_{3}\mathbf {k.i} +b_{2}a_{3}\mathbf {k.j} +b_{3}a_{3}\mathbf {k.k}$

$\mathbf {i.j,i.k,j.k,}$ 等都为零，因为向量是正交的，同样，$\mathbf {i.i,j.j}$ 和 $\mathbf {k.k}$ 都为 1（这些是定义为长度为 1 个单位的单位向量）。

利用这些结果

$\mathbf {a.b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

矩阵

矩阵是一组以矩形排列的数字。它们在线性代数中尤为重要，因为它们可以用来表示线性方程的元素。

11a + 2b = c

5a + 7b = d

上述方程中的常数可以表示为矩阵

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}11&2\\5&7\\\end{bmatrix}}$

矩阵元素通常用小写字母表示

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}}$

如果所有对应元素相等，则矩阵相等。

例如：如果 $a_{ij}=b_{ij}$

然后 $\mathbf {A} =\mathbf {B}$

矩阵加法

矩阵的加法是通过将一个矩阵的各个元素加到另一个矩阵的对应元素来实现的。

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

或者 $\mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B}$

矩阵加法具有以下性质

1. 交换律 $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$

2. 结合律 $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C} =\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )$

以及

3. $\mathbf {A} +(-\mathbf {A} )=0$

4. $\mathbf {A} +0=\mathbf {A}$

从矩阵加法可以看出，矩阵 $\mathbf {A}$ 与数字 p 的乘积只是 $p\mathbf {A}$，其中矩阵的每个元素都单独乘以 p。

矩阵的转置

当行和列互换时，矩阵被转置。

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

$\mathbf {A^{T}} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

注意，主对角线元素在转置后保持不变。

如果一个矩阵等于它的转置，那么这个矩阵是对称的，例如：$a_{kj}=a_{jk}$。

如果 $\mathbf {A^{T}} =-\mathbf {A}$，那么它是反对称的，例如：$a_{kj}=-a_{jk}$。反对称矩阵的主对角线由元素组成，这些元素为零。

其他类型的矩阵

对角矩阵：主对角线以上和以下的所有元素均为零。

${\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\\\end{bmatrix}}$

单位矩阵：用 I 表示，是对角矩阵，其中主对角线的所有元素都为 1。

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

矩阵乘法

矩阵乘法是根据确定线性变换系数的问题来定义的。

考虑两个坐标系之间的线性变换集，这两个坐标系共享一个共同的原点，并且通过坐标轴的旋转相互关联。

两个相互旋转的坐标系

如果有 3 个坐标系 x、y 和 z，它们可以从一个坐标系变换到另一个坐标系

$x_{1}=a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}$

$x_{2}=a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}$

$y_{1}=b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2}$

$y_{2}=b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2}$

$x_{1}=c_{11}z_{1}+c_{12}z_{2}$

$x_{2}=c_{21}z_{1}+c_{22}z_{2}$

通过代入

$x_{1}=a_{11}(b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2})+a_{12}(b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2})$

$x_{2}=a_{21}(b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2})+a_{22}(b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2})$

$x_{1}=(a_{11}b_{11}+a_{12}(b_{21})z_{1}+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})z_{2}$

$x_{2}=(a_{21}b_{11}+a_{22}(b_{21})z_{1}+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})z_{2}$

因此

$c_{11}=(a_{11}b_{11}+a_{12}(b_{21})$

$c_{12}=(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})$

$c_{21}=(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})$

$c_{22}=(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})$

系数矩阵为

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}}$

从线性变换中，A 和 B 的乘积定义为

$\mathbf {C} =\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})&(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})\\(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})&(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})\end{bmatrix}}$

在讨论标量积时，我们发现对于一个平面，标量积的计算方式如下：$\mathbf {a.b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$，其中 a 和 b 是向量 a 和 b 的坐标。

现在数学家将矩阵的行和列定义为向量

列向量为 $\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\end{bmatrix}}$

行向量为 $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\end{bmatrix}}$

矩阵可以被描述为向量，例如

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {a_{1}} \\\mathbf {a_{2}} \end{bmatrix}}$

以及

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {b_{1}} \mathbf {b_{2}} \end{bmatrix}}$

矩阵乘法则被定义为向量的标量积，因此

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a_{1}.b_{1}} &\mathbf {a_{1}.b_{2}} \\\mathbf {a_{2}.b_{1}} &\mathbf {a_{2}.b_{2}} \end{bmatrix}}$

根据标量积的定义，$\mathbf {a_{1}.b_{1}} =a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}$等等。

一般情况下

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a_{1}.b_{1}} &\mathbf {a_{1}.b_{2}} &.&\mathbf {a_{1}.b_{n}} \\\mathbf {a_{2}.b_{1}} &\mathbf {a_{2}.b_{2}} &.&\mathbf {a_{2}.b_{n}} \\.&.&.&.\\\mathbf {a_{m}.b_{1}} &\mathbf {a_{m}.b_{2}} &.&\mathbf {a_{m}.b_{n}} \end{bmatrix}}$

这被描述为行乘以列（例如：行向量乘以列向量）。第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同，否则乘法将无法定义。

矩阵乘法后，乘积矩阵的行数与第一个矩阵相同，列数与第二个矩阵相同。

${\begin{bmatrix}1&3&4\\6&3&2\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}2\\3\\7\end{bmatrix}}$ 有 2 行和 1 列 ${\begin{bmatrix}39\\35\end{bmatrix}}$

即：第一行是 $1*2+3*3+4*7=39$，第二行是 $6*2+3*3+2*7=35$

$\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-1&3\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}2&3&4\\3&2&1\\5&1&3\end{bmatrix}}$ 具有 2 行和 3 列 ${\begin{bmatrix}21&11&13\\16&7&16\end{bmatrix}}$

请注意，$\mathbf {BA}$ 无法确定，因为**第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数**才能执行矩阵乘法。

矩阵乘法的性质

1. 不满足交换律 $\mathbf {AB} \neq \mathbf {BA}$

2. 满足结合律 $\mathbf {A(BC)} =\mathbf {(AB)C}$

$(k\mathbf {A} )\mathbf {B} =k(\mathbf {AB} )=\mathbf {A} (k\mathbf {B} )$

3. 对矩阵加法满足分配律

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC}$

矩阵乘法不满足交换律，因此 $\mathbf {C} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathbf {CA} +\mathbf {CB}$ 是一个单独的情况。

4. 消去律并不总是成立

$\mathbf {AB} =0$ 并不意味着 $\mathbf {A} =0$ 或 $\mathbf {B} =0$

有一种情况，矩阵乘法满足交换律。这涉及到标量矩阵，其中主对角线的数值都相等。例如

$\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\end{bmatrix}}$

在这种情况下 $\mathbf {AS} =\mathbf {SA} =k\mathbf {A}$。如果标量矩阵是单位矩阵：$\mathbf {AI} =\mathbf {IA} =\mathbf {A}$。

线性变换

一个简单的线性变换，例如

$x_{1}=a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}$

$x_{2}=a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}$

可以表示为

$\mathbf {x} =\mathbf {Ay}$

例如

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}$

和 $y_{1}=b_{11}z_{1}+b_{12}z_{2}$

$y_{2}=b_{21}z_{1}+b_{22}z_{2}$

可以写成：$\mathbf {y} =\mathbf {Bz}$

使用结合律

$\mathbf {x} =\mathbf {A} (\mathbf {Bz} )=\mathbf {ABz} =\mathbf {Cz}$

所以

$\mathbf {C} =\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})&(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})\\(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})&(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})\end{bmatrix}}$

如前所述。

指标符号

考虑一个简单的坐标旋转

$x^{\mu }$ 定义为 $x_{1}$，$x_{2}$

$x^{\nu }$ 定义为 $x_{1}^{'}$，$x_{2}^{'}$

标量积可以写成

$\mathbf {s.s} =g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$

其中

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

被称为这个二维空间的度量张量。

$\mathbf {s.s} =g_{11}x_{1}x_{1}^{'}+g_{12}x_{1}x_{2}^{'}+g_{21}x_{2}x_{1}^{'}+g_{22}x_{2}x_{2}^{'}$

现在，$g_{11}=1$, $g_{12}=0$, $g_{21}=0$, $g_{22}=1$ 所以

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}^{'}+x_{2}x_{2}^{'}$

如果坐标没有旋转，标量积是

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}+x_{2}x_{2}$

$s^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

这是毕达哥拉斯定理。

求和约定

作为下标和上标出现的索引都会被求和。

$g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=g_{11}x_{1}x_{1}^{'}+g_{12}x_{1}x_{2}^{'}+g_{21}x_{2}x_{1}^{'}+g_{22}x_{2}x_{2}^{'}$

通过将 $\nu$ 提升为上标，它将从求和中移除，即：。

$g_{\mu }^{\nu }x^{\mu }x^{\nu }=g_{1\nu }x_{1}x_{\nu }^{'}+g_{2\nu }x_{2}x_{\nu }^{'}$

矩阵乘法在指标表示法中的应用

考虑

列乘以行

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}x_{1}y_{1}&x_{1}y_{2}\\x_{2}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}$

矩阵乘积 $\mathbf {XY} =x_{i}y_{j}$ 其中 i = 1, 2 j = 1, 2

由于没有求和，索引都是下标。

行乘以列： ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix}x_{1}y_{1}&x_{2}y_{2}\end{bmatrix}}$

矩阵乘积 $\mathbf {XY} =\delta _{ij}x^{i}y^{j}$

其中 $\delta _{ij}$ 称为克罗内克δ，当 $i\neq j$ 时值为0，当 $i=j$ 时值为1。它是单位矩阵的指标等效

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

由于存在求和，一个i的值是下标，另一个是上标。

一般来说，矩阵可以用以下任何一种方式指定

$M_{i}^{j}$ , $M_{ij}$ , $M_{j}^{i}$ , $M^{ij}$，具体取决于哪个下标或上标被求和。

指标记号中的向量

向量可以表示为基向量的和。

$\mathbf {x} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}$

在指标记号中，这是：$x=a^{i}e_{i}$

指标记号中的线性变换

考虑 $\mathbf {x} =\mathbf {Ay}$ 其中 $\mathbf {A}$ 是一个系数矩阵，而 $\mathbf {x}$ 和 $\mathbf {y}$ 是坐标矩阵。

在指标记号中，这是

$x^{\mu }=A_{\nu }^{\mu }x^{\nu }$

这变成

$x_{1}=a_{11}x_{1}^{'}+a_{12}x_{2}^{'}+a_{13}x_{3}^{'}$

$x_{2}=a_{21}x_{1}^{'}+a_{22}x_{2}^{'}+a_{23}x_{3}^{'}$

$x_{3}=a_{31}x_{1}^{'}+a_{32}x_{2}^{'}+a_{33}x_{3}^{'}$

标量积的指标表示

在指标表示中，标量积为

$\mathbf {x.y} =\delta _{ij}x^{i}y^{j}$

曲面和变换分析

在 19 世纪初，人们发现诸如欧几里得平行公理之类的命题需要发展一种新的几何学，能够处理曲面和实数平面与虚数平面。这种方法的基础是高斯对曲面的分析，它允许我们在任何类型的表面上使用各种坐标系和位移。

基本几何分析作为对狭义相对论的介绍是有用的，因为它暗示了坐标变换中出现的系数的物理意义。

假设在一个表面上有一条线。这条线的长度可以用坐标系来表示。一条短线段 $\Delta s$ 在二维空间中可以用毕达哥拉斯定理表示为

$\Delta s^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}$

假设在表面上还有另一个坐标系，有两个轴：x₁, x₂，如何用这些坐标来表示线的长度？高斯解决了这个问题，他的分析对于两个坐标轴来说非常简单

图 1

可以使用基本微分几何来描述平面上的位移，用曲面上的位移来表示

$\Delta Y=\Delta x_{1}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}$

$\Delta Z=\Delta x_{1}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}}$

然后假设短线的位移由一个公式给出，称为度量，例如毕达哥拉斯定理

$\Delta S^{2}=\Delta Y^{2}+\Delta Z^{2}$

然后可以将 $\Delta Y$ 和 $\Delta Z$ 的值代入这个度量

$\Delta S^{2}=(\Delta x_{1}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}})^{2}+(\Delta x_{1}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}+\Delta x_{2}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}})^{2}$

展开后，得到：

$\Delta S^{2}=$

$({\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}})\Delta x_{1}\Delta x_{1}$

$+({\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}})\Delta x_{2}\Delta x_{1}$

$+({\frac {\delta Y}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{1}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}})\Delta x_{1}\Delta x_{2}$

$+({\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{2}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{2}}})\Delta x_{2}\Delta x_{2}$

这可以用求和符号表示：

$\Delta S^{2}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}({\frac {\delta Y}{\delta x_{i}}}{\frac {\delta Y}{\delta x_{k}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x_{i}}}{\frac {\delta Z}{\delta x_{k}}})\Delta x_{i}\Delta x_{k}$

或者，使用 **指标** 表示法

$\Delta S^{2}=g_{ik}\Delta x^{i}\Delta x^{k}$

其中

$g_{ik}=({\frac {\delta Y}{\delta x^{i}}}{\frac {\delta Y}{\delta x^{k}}}+{\frac {\delta Z}{\delta x^{i}}}{\frac {\delta Z}{\delta x^{k}}})$

如果坐标没有合并，那么 $\Delta s$ 将依赖于两组坐标。用矩阵表示法

$\Delta s^{2}=\mathbf {g} \Delta \mathbf {x} \Delta \mathbf {x}$

变为

${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\Delta x_{2}\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}$

其中 a, b, c, d 代表 $g_{ik}$ 的值。

因此

${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}a+\Delta x_{2}c&\Delta x_{1}b+\Delta x_{2}d\end{bmatrix}}$ 乘以 ${\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}$

也就是

$(\Delta {x_{1}}a+\Delta {x_{2}}c)\Delta {x_{1}}+(\Delta {x_{1}}b+\Delta {x_{2}}d)\Delta {x_{2}}=\Delta {x_{1}}^{2}a+2\Delta {x_{1}}\Delta {x_{2}}(c+b)+\Delta {x_{2}}^{2}d$

所以

$\Delta {s}^{2}=\Delta {x_{1}}^{2}a+2\Delta {x_{1}}\Delta {x_{2}}(c+b)+\Delta {x_{2}}^{2}d$

$\Delta {s}^{2}$ 是一个双线性形式，它依赖于 $\Delta {x_{1}}$ 和 $\Delta {x_{2}}$。它可以用矩阵符号表示为

$\Delta {s}^{2}=\mathbf {\Delta {x}^{T}A\Delta {x}}$

其中 A 是包含 $g_{ik}$ 值的矩阵。这是一个称为二次型的双线性形式的特殊情况，因为同一个矩阵 ($\mathbf {\Delta {x}}$) 出现了两次；在广义双线性形式 $\mathbf {B} =\mathbf {x^{T}Ay}$ （矩阵 $\mathbf {x}$ 和 $\mathbf {y}$ 是不同的）。

如果表面是欧几里得平面，则 $g_{ik}$ 的值是

${\begin{bmatrix}\delta {Y}/\delta {x_{1}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{1}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}\\\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{2}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{2}}\end{bmatrix}}$

这将变成

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

因此矩阵 A 是单位矩阵 I，并且

$\Delta {s}^{2}=\mathbf {\Delta {x^{T}}I\Delta {x}}$

以及

$\Delta {s}^{2}=\Delta {x_{1}}^{2}+\Delta {x_{2}}^{2}$

这再次恢复了勾股定理。

如果曲面是从其他度量导出的，例如 $\Delta {s^{2}}=-\Delta {Y}^{2}+\Delta {Z}^{2}$，则 gik 的值是

${\begin{bmatrix}-\delta {Y}/\delta {x_{1}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{1}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&-\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}\\-\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{1}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{1}}&-\delta {Y}/\delta {x_{2}}\delta {Y}/\delta {x_{2}}+\delta {Z}/\delta {x_{2}}\delta {Z}/\delta {x_{2}}\end{bmatrix}}$

它将变为

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

这使得原始度量可以被恢复，即: $\Delta {s^{2}}=-\Delta {x_{1}}^{2}+\Delta {x_{2}}^{2}$.

有趣的是，将几何分析与上面指标记号部分推导出的基于矩阵代数的变换进行比较。

$\mathbf {s.s} =g_{11}x_{1}x_{1}^{'}+g_{12}x_{1}x_{2}^{'}+g_{21}x_{2}x_{1}^{'}+g_{22}x_{2}x_{2}^{'}$

现在，

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

即: $g_{11}=1$, $g_{12}=0$, $g_{21}=0$, $g_{22}=1$ 所以

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}^{'}+x_{2}x_{2}^{'}$

如果坐标没有旋转，标量积是

$\mathbf {s.s} =x_{1}x_{1}+x_{2}x_{2}$

$s^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

这恢复了毕达哥拉斯定理。但是，读者可能已经注意到，在标量积的推导中，毕达哥拉斯定理一开始就被假设了（见上文）。

几何分析表明，如果假设一个度量，并且允许微分几何的条件存在，那么有可能从另一个坐标系中推导出一个坐标系。这种分析也可以使用矩阵代数，并在相同的假设下进行。

上面的例子使用了一个简单的二维毕达哥拉斯度量，一些其他度量，如 4D 闵可夫斯基空间的度量

$\Delta S^{2}=-\Delta T^{2}+\Delta X^{2}+\Delta Y^{2}+\Delta Z^{2}$

可以代替毕达哥拉斯定理。