静力学/二维平衡

有六个方程表示刚体在三维空间中的平衡。

力的总和：$\sum _{}^{}F_{x}=0$，$\sum _{}^{}F_{y}=0$，$\sum _{}^{}F_{z}=0$

力矩的总和：$\sum _{}^{}M_{x}=0$，$\sum _{}^{}M_{y}=0$，$\sum _{}^{}M_{z}=0$

在二维情况下，可以忽略一个方向的力和两个方向的力矩。当力仅存在于 x 和 y 方向时，除了 z 方向外，不可能有任何方向的力矩。当力仅存在于 x 和 y 方向时，相关的方程如下所示。

力的总和：$\sum _{}^{}F_{x}=0$，$\sum _{}^{}F_{y}=0$

力矩的总和：$\sum _{}^{}M_{z}=0$

解决二维静力学问题

• 绘制自由体图
• 写出力的平衡方程
• 写出力矩的平衡方程
• 一旦方程数与未知数个数相同，问题就可以得到解决，您可能需要战略性地选择点来写力矩方程等。

力偶

F1 和 F2 相等

如本节所示，力偶在每个点的力矩都相同。查看右侧的图片后，可以写出以下方程。逆时针方向的力矩被认为是正的，顺时针方向的力矩被认为是负的。F1 = F2

$\sum M_{A}=F_{1}*a-F_{2}*(b+a)=F_{1}*a-F_{1}*(b+a)=-F_{1}*b=-F*b$

$\sum M_{B}=-F_{1}*(b+c)+F_{2}*(c)=-F*b$

$\sum M_{C}=-F_{1}*d-F_{2}*e=-F*(d+e)=-F*b$

所有点处的力矩都等于力乘以力之间的距离。 如果你求出关于D点或任何其他点的力矩，你将继续得到相同的力矩。所有点的力矩都相同，即使这些点不在x-y平面上。

示例 1

问题

右边的图片显示了作用在停泊汽车上的力。如果汽车的重量正好作用在两个车轮之间，且重量为1000磅，那么后轮承受多少力？前轮呢？

答案

写出力方程

$\sum F_{x}=0$

x方向没有力。

$\sum F_{y}=0=R_{f}+R_{B}-W=R_{f}+R_{B}-1000lbs$

写出关于前轮的力矩方程

$\sum M_{f}=0=-5ft*W+10*R_{B}=-5000lbft+10*R_{B}$

$\ R_{B}=500lb$

将$R_{B}$代入$sumF_{y}$

$\sum F_{y}=0=R_{f}+R_{B}-W=R_{f}+500lbs-1000lbs$

$\ R_{f}=500lbs$

请注意，$R_{f}$ 和 $R_{B}$ 分布在两个车轮上。每个前轮支撑$R_{f}$的一半，每个后轮支撑$R_{B}$的一半。

示例 2

问题

一个质量为$m\,\!$、半径为$r\,\!$的均匀环，在其半径为$b\,\!$的位置上有一个偏心质量$m_{0}\,\!$。该环处于一个斜坡上的平衡位置，斜坡与水平面成$\alpha \,\!$角。如果接触面足够粗糙以防止滑动，请写出定义平衡位置的角度$\theta \,\!$的表达式。

答案：$\theta =sin^{-1}[{\frac {r}{b}}(1+{\frac {m}{m_{0}}})sin\alpha ]\,\!$