统计力学/德拜理论

假设我们有一个材料，其振动模式在视觉上类似于果冻。换句话说，我们正在观察声子模式。声子特定模式的能量方程与光子的能量方程相同。声子和光子情况之间的唯一区别是，声子情况有一个可能的上限（因为最高频率发生在最短波长处：当一个分子处于其振幅而相邻分子处于其波谷时），以及我们有另一个可能的极化模式（两个横向，一个纵向），以及我们正在处理 v（材料中的声速）而不是 c。因此，当我们像光子推导（另一个类似的态密度问题）那样转换积分时，我们得到

$U={\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{n_{D}}dn{\frac {n^{2}\hbar \omega _{n}}{exp(\hbar \omega _{n}/T)-1}}$

其中 n_D 是此最大情况。

我们现在定义一个称为德拜温度的东西（材料的物理性质）

$\theta =(\hbar v/k_{B})(6\pi ^{2}N/V)^{1/3}$

注意：k_B 出现是因为我们一直在使用能量表示的 T，而不是典型的开尔文标度的 T，k_B 实际上意味着这里的 T 以开尔文单位表示）

如果我们使用它，并取 T << θ 的低温极限，我们可以将上限近似为我们在积分中继续使用 ∞（这在物理上意味着固体没有达到许多更高能量级的状态）我们可以几乎完全像以前一样进行评估

$U(T)=3\pi ^{4}Nk_{B}T^{4}/5\theta ^{3}$

和

$C_{V}:=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {12\pi ^{4}Nk_{B}}{5}}\left({\frac {T}{\theta }}\right)^{3}$

这被称为德拜的 T³ 定律，与实验结果吻合良好。