统计力学/量子气体
根据自旋-统计定理，实际上只有两种类型的粒子：费米子和玻色子。因此，如果我们可以分别很好地研究每一种，那么我们就知道了很多！
我们将使用之前为这些模型开发的“基础设施”大配分函数（为了使其更通用）。具体来说，我们可以使用大配分函数来创建分布函数，并使用这些函数来研究费米气体/玻色气体的特定性质。
使用我们之前的定义
f(ε) := <N(ε)>
现在，对于给定的轨道（即，对于给定的 ε），费米子只能有两种选择，要么有一个粒子，要么没有粒子。因此，我们可以使用我们之前定义的方法来计算平均量，以便计算 <N(ε)>（我们将通过暴力求解来进行求和，这并不难，最多只有两项）
f(ε)=1/(exp((ε-μ)/kT) + 1)
该过程相同，只是不是没有或一个，而是 0 到无穷大。如果我们使用一些求和关系，我们会得到
f(ε)=1/(exp((ε-μ)/kT) - 1)
这与费米气体的情况惊人地相似，但减号会导致与费米气体相比的极端行为差异。
尽管费米气体和玻色气体的总体行为不同，但在特定极限内，我们看到两种分布几乎相似。我们将此极限称为“经典极限”。特别地，此极限为
exp((ε-μ)/kT) >> 1
此极限唯一的重要性在于确定何时我们不必担心两种气体不同的行为。
由于 0 或 1 的限制，在非常低的温度下（请注意，冷是一个相当比较的术语，对于金属片上的自由电子来说，这可能高达华氏数百度！这表明这种奇特的量子现象确实影响了您的日常生活）费米气体只能被“锁定”到那么多的轨道。它们不能全部落入基态。气体被“锁定”的能量称为费米能。
在分布函数方面，这意味着在这个“冷”的温度下，函数在一点急剧下降。
与费米气体中出现的费米能不同，玻色子可以随意凝聚，这就是减号发挥作用的地方。当能级越来越低时，最终它们可能会超过化学势，这会导致玻色分布函数中的指数小于 1，从而导致函数为负，即不可能的值。实际上，当 ε 接近 μ 时，函数趋近于奇点。从物理上讲，这意味着所有玻色子都可以在低温下“凝聚”到相同的低能点：一种被称为玻色凝聚的现象。