统计力学/热辐射

普朗克分布函数

对于热辐射，我们知道以下方程

ε_n=sℏω_n

我们可以将我们之前构建的配分函数“基础设施”应用于此

Z = Σ_s=0 exp(-sℏω_n/T)

通过代数运算

= 1/(1 - exp(-ℏω_n/T))

因此，我们也可以找到概率

P(s) = exp(-sℏω_n/T)/Z

现在，我们可以开始计算一些有趣的热力学量。让我们从s的热平均值开始，即在给定温度下热辐射的平均模式

<s> = Σ_s=0 sP(s) = Z^-1 Σsexp(-sℏω_n/T)

如果我们进行求和的数学运算

<s>=1/(exp(ℏω_n/T) - 1)

记住，对于一个模式

ε_n=sℏω_n

对其求平均值

<ε_n> = <sℏω_n>

= <s>ℏω_s

从上一节

= ℏω_n/(exp(ℏω_n/T) - 1)

因此，如果我们将所有模式加起来

U = Σ_n ℏω_n/(exp(ℏω_n/T) - 1)

注意ω_n = nπc/L，现在因为ℏ非常小，我们可以将这个和近似为积分。在这个过程中，我们将使用球坐标系改变积分变量n的坐标，并令x = πℏcn/LT（由于我们只对n的正值进行积分，因此会出现额外的1/8，由于频率的两个独立的腔模式集，因此会出现额外的2）

注意：实际上，这是一个态密度问题，其中D(n) = 4n²，因为球面壳* 1/8 * 2 = n²，ε=ℏω_n，以及f(ε)=(exp(ℏω_n/T) - 1)^-1

U = (L³T⁴/π²ℏ³c³) ∫₀^∞ x³/(exp(x) - 1) dx

积分在积分表中有一个确定的值，L³=V，因此我们得到了斯特藩-玻尔兹曼辐射定律

U/V = π²/15π²ℏ³c³ T⁴

现在，在我们之前的推导中，如果我们没有用dn积分，而是用dω积分，那么就会出现以下形式

U/V = ∫dω u_ω

与统计特性进行比较，这就像一个密度，更具体地说，是一个光谱密度，如果我们进行数学运算

u_ω = ℏ/π²c³ ω³/(exp(ℏω/T) - 1)

这就是著名的普朗克黑体辐射定律。

假设我们关注辐射通量密度，根据通量密度的定义

J_U = cU(T)/4V（额外的4是一个几何因子）

如果我们应用斯特藩-玻尔兹曼定律于此

J_U = π²T⁴/60ℏ³c²

这与基尔霍夫定律的区别在于多了一个常数，称为吸收率/发射率常数，它取决于材料。