统计热力学和速率理论/统计热力学的基本数学

指数和对数

统计热力学中的指数函数扮演着重要的角色。该领域中使用的函数大多遵循高斯分布，即归一化的指数函数。因此，了解此类函数的一些基本性质至关重要。

在数学中，指数函数的形式为

$f(x)=b^{x}$

其中 $b$ 是任何常数，而 $x$ 作为指数出现。这些函数的特殊之处在于，由于它们之间的直接关系，其导数与其自身之间存在密切的关系。然而，对于统计热力学而言，可能最重要的指数函数是底为欧拉数 ($e\approx 2.71828...$) 的指数函数，这是其导数与其自身之间的比例常数为 1 的唯一常数。

另一方面，指数函数的逆函数是对数函数，形式为

$f(x)=\log _{b}(x)$

此函数也由于其数学性质而具有相当重要的意义。需要强调的是，与底为 的指数函数一起，底为 $e$ 的对数称为自然对数。

指数函数的一些性质如下

• $e^{x+y}=e^{x}e^{y}\,$
• $e^{0}=1\,$
• $e^{x}\neq 0$
• ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}$
• $\left(e^{x}\right)^{n}=e^{nx},n\in \mathbb {Z}$

对数函数的一些性质如下

• $\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y$
• $\log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y$
• $\log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x$
• $\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}$

另请参阅

• 维基百科：指数函数
• 维基百科：对数
• 维基百科：级数（数学）