气体粒子可以在空间中沿三个独立的方向运动：x、y 和 z。每个方向都是一个独立的平动自由度。对于理想气体，这些粒子可以自由地在空间中的任何方向运动，直到它与容器壁碰撞。对于孤立系统，假设与容器壁的碰撞是弹性的，这意味着碰撞时没有能量损失。
描述平动的第一个量子力学模型是一维箱中的粒子。它可以沿一个轴（通常指定为 x 轴）在任意指定的边界极限 0 和 a 之间自由移动。在小于 0 和大于“a”的距离处，势能函数立即上升到无穷大。粒子无法越过这些点。0 和 a 代表一维箱的壁。我们可以使用此信息在数学上分配边界条件，这允许推导出一个维箱中粒子的波函数。得到的逐段函数、波函数和能级方程如下所示，
V ( x ) = { ∞ , x < 0 0 , 0 ≤ x ≤ a ∞ , x > a {\displaystyle {\mathcal {V}}(x)={\begin{cases}\infty ,x<0\\0,0{\leq }x{\leq }a\\\infty ,x>a\end{cases}}} Ψ ( x ) = 2 a sin ( n π x a ) {\displaystyle \Psi (x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{a}}\right)}} n = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle n=1,2,3,...} 以及系统的相应能级。
ϵ n = h 2 n 2 8 m a 2 {\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {h^{2}n^{2}}{8ma^{2}}}} 注意：在上式中，m 表示气体粒子的质量，h 是普朗克常数。
箱内平动的能级是量子化的，在任何给定时间，粒子只能占据离散的能级。这些能级中的每一个都由一个量子数 n 定义。n 可以取从 1 开始到假想无穷大的任何整数值。一维箱中粒子的 n = 0 状态不存在。根据海森堡不确定性原理，粒子不能静止。如果是这种情况，那么粒子的动量和位置可以同时确定，这违反了该原理。因此，一维箱中粒子在最低平动能级上的能量不为零（即，n = 1）。
可以构建一维箱中粒子波函数的概率密度图。该图的特点是在 n 值较低时有相当大的“峰”。例如，在 n=1 时，有一个大的峰，从 x = 0 处的最小值开始，在中心某处有一个最大值，然后在 x = a 处有一个第二个最小值。这些最小值代表零概率密度的区域。换句话说，粒子不会出现在这些区域。
随着 n 的增加，概率密度图峰之间的间距越来越小，直到在 n 值足够高时达到近似连续。还必须注意，平动能级之间的能量间距相对于粒子在正常条件下可获得的能量来说非常小。在室温下，理想气体粒子将占据非常高的能级。当我们将量子数增加到足够大的值时，系统的行为将开始再现经典力学的行为，即粒子基本上等可能地出现在箱内的任何地方，而不是出现在 n 值较低时看到的离散峰区域。这就是所谓的对应原理。
对应原理也适用于三维箱。对于三维箱中的粒子，粒子能够沿 x、y 和 z 轴的任何方向运动。由于它的运动现在包含了三个可能方向的组合，因此系统必须包含两个额外的量子数来补偿这种差异。nx 、ny 和 nz 分别对应于 x、y 和 z 维度。波函数和能级方程都必须进行调整以补偿新的量子数。这些给出如下，
Ψ n x , n y , n z = 8 a b c sin ( n x π x a ) sin ( n y π y b ) sin ( n z π z c ) {\displaystyle \Psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\sqrt {\frac {8}{abc}}}\sin \left({\frac {n_{x}{\pi }x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}{\pi }y}{b}}\right)\sin \left({\frac {n_{z}{\pi }z}{c}}\right)} ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m ( n x 2 a 2 + n y 2 b 2 + n z 2 c 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m}}\left({\frac {{n_{x}}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{n_{y}}^{2}}{b^{2}}}+{\frac {{n_{z}}^{2}}{c^{2}}}\right)} a、b 和 c 代表盒子对应边的长度。如果盒子是立方体，则能量级方程可以简化，因为立方体的边 a、b 和 c 都是相等的。结果方程将采用以下形式：
ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m a 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m{a^{2}}}}({{n_{x}}^{2}}+{{n_{y}}^{2}}+{{n_{z}}^{2}})} 对于立方体中的粒子，某些量子数组合将给出相同的能量级。具有不同量子数集但具有相同能量的能级被称为简并，除非所有三个量子数都相同，否则总是存在另外三个量子数的组合会导致简并态。
计算 N2 从基态到第一激发态的平动能差 Δ E {\displaystyle \Delta E}
基态，其中 n x = n y = n z = 1 {\displaystyle n_{x}=n_{y}=n_{z}=1} n = 1 , 1 , {\displaystyle n=1,1,}
ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m ( n x 2 a 2 + n y 2 b 2 + n z 2 c 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m}}\left({\frac {{n_{x}}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{n_{y}}^{2}}{b^{2}}}+{\frac {{n_{z}}^{2}}{c^{2}}}\right)} 然而，由于立方体的所有边都是 10 厘米，那么 a=b=c=10 厘米 = 0.1 米。然后方程变为
ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m a 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m{a^{2}}}}\left({{n_{x}}^{2}}+{{n_{y}}^{2}}+{{n_{z}}^{2}}\right)} 可以使用以下公式确定 N2 的质量
μ = m N m N m N + m N , {\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{N}m_{N}}{m_{N}+m_{N}}},\!\,} μ = m N 2 2 m N , {\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{N}^{2}}{2m_{N}}},\!\,} μ = m N 2 , {\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{N}}{2}},\!\,} μ = 14.0067 u 2 , {\displaystyle \mu ={\cfrac {14.0067u}{2}},\!\,} μ = ( 7.00335 u ) ( 1.660549 × 10 − 27 k g / u ) , {\displaystyle \mu =(7.00335u)(1.660549\times 10^{-27}kg/u),\!\,} μ = 1.16294 × 10 − 26 k g , {\displaystyle \mu =1.16294\times 10^{-26}kg,\!\,} Δ E {\displaystyle \Delta E} ϵ n x , n y , n z = h 2 8 m a 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) − ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}}{8m{a^{2}}}}({{n_{x}}^{2}}+{{n_{y}}^{2}}+{{n_{z}}^{2}})-({{n_{x}}^{2}}+{{n_{y}}^{2}}+{{n_{z}}^{2}})} ϵ n x , n y , n z = ( 6.626 × 10 − 34 ) 2 J s 8 ( 1.16294 × 10 − 26 k g ) 0.1 m 2 ( 2 2 + 1 2 + 1 2 ) − ( 1 2 + 1 2 + 1 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {({6.626\times 10^{-34}})^{2}Js}{8(1.16294\times 10^{-26}kg){0.1m^{2}}}}({{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}})-({{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}})} ϵ n x , n y , n z = 4.3904 × 10 − 67 J 2 s 2 9.30352 × 10 − 28 k g m 2 ( 6 − 3 ) {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {{4.3904\times 10^{-67}}J^{2}s^{2}}{9.30352\times 10^{-28}kgm^{2}}}(6-3)} ϵ n x , n y , n z = 1.4157 × 10 − 39 J {\displaystyle \epsilon _{n_{x},n_{y},n_{z}}=1.4157\times 10^{-39}J} 维基百科关于盒中粒子模型的条目
