斯托克斯定理

在微分几何中，斯托克斯定理是一个关于积分的微分形式的陈述，它概括了几个来自向量微积分的定理。它以爵士乔治·加布里埃尔·斯托克斯（1819-1903）的名字命名，尽管该定理的第一个已知表述来自威廉·汤姆森（开尔文勋爵），并出现在他于7月 1850 年写给斯托克斯的一封信中。^[1] 该定理得名于斯托克斯的习惯，即将其包含在剑桥奖项考试中。1854 年，他在考试中要求他的学生证明该定理。

介绍

微积分基本定理指出，函数 f 在区间 [a, b] 上的积分可以通过找到 f 的反导数 F 来计算

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).

斯托克斯定理是这个定理在以下意义上的一个广泛推广。

通过选择 F， ${\frac {dF}{dx}}=f$ . 用微分形式的语言来说，这就是说 f(x) dx 是 0-形式（即函数）F 的外微分：dF = f dx。一般的斯托克斯定理适用于更高阶的微分形式 $\omega$ 而不是 F。
用更专业的语言来说，闭区间 [a, b] 是一个具有边界的单维流形。它的边界是包含两个点 a 和 b 的集合。将 f 在区间上积分可以推广到在更高维流形上积分形式。需要两个技术条件：流形必须是可定向的，并且该形式必须是紧支集的，以便给出一个定义明确的积分。
这两个点 a 和 b 构成了开区间的边界。更一般地说，斯托克斯定理适用于具有边界的定向流形 M。M 的边界 ∂M 本身是一个流形，并从流形的自然定向继承了一个自然定向。例如，区间的自然定向给出了两个边界点的定向。直观地说，a 继承了与 b 相反的定向，因为它们位于区间的两端。因此，“积分” F 在两个边界点 a, b 上就是取差 F(b) − F(a)。

因此，微积分基本定理可以写成

\int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a).

一般公式

令 M 为一个 n 维定向光滑流形，并令 $\alpha$ 为一个在 M 上紧支集的 n-微分形式。 $\alpha$ 在 M 上的积分定义如下：令 {f_i} 为与（一致定向的）坐标邻域的局部有限覆盖 {U_i} 相关的单位分解，则积分

\int _{M}\alpha \,

被定义为

\sum _{i}\int _{U_{i}}f_{i}\,\alpha ,\,

其中每个求和项通过拉回到 Rⁿ 来计算。这是定义良好的。

斯托克斯定理表明：如果 $\omega$ 是一个在 M 上具有紧支集的 (n − 1)-形式，并且 ∂M 表示 M 的边界，具有其诱导的方向，那么

\int _{M}\mathrm {d} \omega =\oint _{\partial M}\omega .\!\,

这里 d 是外微分，它仅使用流形结构来定义。

该定理通常用于 M 是某个更大流形中嵌入的定向子流形的情况，形式 $\omega$ 在其上定义。

拓扑解释

设 M 为一个光滑流形。M 的一个 (C^∞-)奇异 k-单纯形是一个从 R^k 中的标准单纯形到 M 的光滑映射。由奇异 k-单纯形生成的自由阿贝尔群 S_k 被认为由 M 的奇异 k-链组成。这些群与边界映射 ∂ 一起，定义了一个链复形。相应的同调（或上同调）被称为 M 的 (C^∞-)奇异同调（或上同调）。

另一方面，微分形式，以外微分 d 作为连接映射，形成一个上同调复形，它定义了德拉姆上同调。

微分 k-形式可以通过将它们拉回到 R^k 来以自然方式在 k-单纯形上积分。通过线性扩展，可以对链进行积分。这给出了从 k-形式空间到奇异上同调链 S_k* 中的第 k 个群的线性映射，即 S_k 上的线性泛函。换句话说，k-形式 $\omega$ 定义了一个泛函

I(\omega )(c)=\int _{c}\omega \,

在 k-链上。斯托克斯定理指出，这是一个从德拉姆上同调到奇异上同调的链映射；外微分 d 在形式上表现得像 ∂ 的“对偶”。这给出了一个从德拉姆上同调到奇异上同调的同态。在形式级别上，这意味着

闭形式在边界上的积分值为零，并且
精确形式在循环上的积分值为零。

德拉姆定理表明，这个同态实际上是一个同构。因此，上面 1 和 2 的逆命题成立。换句话说，如果 {c_i} 是生成第 k 个同调群的循环，那么对于任何相应的实数 {a_i}，存在一个闭形式 $\omega$ 使得

\int _{c_{i}}\omega =a_{i},

并且此形式在精确形式下是唯一的。

特殊情况

使用微分形式的斯托克斯定理的通用形式比特殊情况更强大，也更容易使用。因为在笛卡尔坐标中，传统的版本可以在没有微分几何学的帮助下被公式化，因此它们更容易理解，也更古老，并且拥有熟悉的名称。传统的形式通常被实践中的科学家和工程师认为更方便，但是当使用其他坐标系（即使是熟悉的球坐标或圆柱坐标）时，传统的公式化的非自然性变得显而易见。在名称的应用方式以及对偶公式的使用方面，可能会存在混淆。

开尔文-斯托克斯定理

这是 (对偶化的) 1+1 维情况，对于 1-形式 (对偶化的，因为它是关于矢量场的陈述)。这种特殊情况通常被称为许多大学入门矢量微积分课程中的 斯托克斯定理。它有时也被称为 旋度定理。

经典的开尔文-斯托克斯定理

\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,

它将曲面积分与旋度的矢量场在欧几里德三维空间中的 $\Sigma$ 表面上相关联，与线积分的矢量场在其边界上相关联，是广义斯托克斯定理 (n = 2) 的特例，一旦我们使用欧几里德三维空间的度量将矢量场识别为 1-形式。线积分的曲线 ( ∂Σ ) 必须具有正方向，这意味着当曲面法线 ( d Σ ) 指向观察者时，d r 指向逆时针方向，遵循右手定则。

它可以被改写为学生所熟悉的形式

\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz

+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx

+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy

=\oint \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz

其中 P、Q 和 R 是 F 的分量。

这些变体经常被使用

\int _{\Sigma }\left(g\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)+\left(\nabla g\right)\times \mathbf {F} \right)

\cdot d\mathbf {\Sigma }

\ =\oint _{\partial \Sigma }g\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,

\int _{\Sigma }\left(\mathbf {F} \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)-\mathbf {G} \left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} -\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {\Sigma }

\ =\oint _{\partial \Sigma }\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {r} .

在电磁学中

麦克斯韦方程组的四个方程中有两个涉及三维矢量场的旋度，它们的微分形式和积分形式通过开尔文-斯托克斯定理相关联。需要注意的是，要避免边界移动的情况：偏时间导数的目的是排除此类情况。如果包含边界移动，则积分和微分交换会引入与边界运动相关的项，而这些项未包含在下面的结果中。

名称	微分形式	积分形式（使用开尔文-斯托克斯定理加上相对论不变性， $\int {\frac {\partial }{\partial t}}...\to {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int ...$ )
麦克斯韦-法拉第方程法拉第电磁感应定律:	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$ $=-\ {\mathrm {d} \over {\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$ C 和 S 静止
安培定律（麦克斯韦扩展）	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot d\mathbf {A}$ $=\int _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} +{\mathrm {d} \over {\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A}$ C 和 S 静止

散度定理

类似地，奥斯特罗格拉德斯基-高斯定理（也称为散度定理或高斯定理）

\int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \ d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma }

是如果我们将向量场与通过将向量场与欧几里得体积形式收缩得到的 *n*-1 形式进行识别时的一个特例。

格林定理

格林定理可以立即识别为上述以 *P*、*Q* 和 *R* 表达的积分中两侧的第三个被积函数。

参考文献

模板：参考文献

进一步阅读

Joos，Georg。理论物理学。第 13 版。威斯巴登学术出版社，1980 年。ISBN 3-400-00013-2
Katz，Victor J. (1979)，"斯托克斯定理的历史"，数学杂志，52 (3): 146–156 {{引用}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助)
Marsden，Jerrold E.，Anthony Tromba。向量微积分。第 5 版。W. H. Freeman：2003 年。
Spivak，Michael (1965)，流形上的微积分：一种对高级微积分经典定理的现代方法，HarperCollins，ISBN 978-0-8053-9021-6
Stewart，James。微积分：概念与背景。第 2 版。太平洋格罗夫，加利福尼亚州：Brooks/Cole，2001 年。
Stewart，James。微积分：早期超越函数。第 5 版。Brooks/Cole，2003 年。

外部链接

模板：Planetmath 参考
微分形式和斯托克斯定理 Jerrold E. Marsden 控制与动力系统，加州理工学院链接已损坏！
微积分 3 - 来自 lamar.edu 的斯托克斯定理 - 解释说明

模板：链接 FA

↑ Olivier Darrigol，从安培到爱因斯坦的电动力学，第 146 页，ISBN 0198505930 牛津（2000 年）

[1] Olivier Darrigol，从安培到爱因斯坦的电动力学，第 146 页，ISBN 0198505930 牛津（2000 年）

[1]