信息市场策略/背景/古诺竞争

古诺竞争是一种经济模型，用于描述行业结构。它以 安托万·奥古斯丁·古诺 (1801-1877) 的名字命名，他在观察泉水双寡头竞争时提出了这一模型。它具有以下特点

• 有两家公司生产同质产品；
• 公司不合作。
• 公司拥有市场力量；
• 存在进入壁垒；
• 公司在数量上竞争，并同时选择数量；
• 公司之间存在战略行为；

价格是总产量已知的下降函数。所有公司都知道 N，并假定其他公司的产量是给定的。每家公司都有成本函数 ci(qi)（单位成本乘以数量）。通常，成本函数被认为是公共知识。成本函数通常对所有公司来说都是一样的。市场价格设置为使需求等于两家公司的总产量。

图形化找到古诺双寡头均衡

p1 = 公司 1 价格，p2 = 公司 2 价格

q1 = 公司 1 数量，q2 = 公司 2 数量

c = 边际成本（假设为常数）

均衡价格将是

p1 = p2 = P(q1+q2)

这意味着公司 i 的利润由 $\Pi \ i=qi(P(q1+q2)-c)$ 给出。

• 计算公司 1 的剩余需求：假设公司 1 认为公司 2 生产的数量为 q2。公司 1 的最佳数量是多少？考虑图 1。如果公司 1 决定不生产任何东西，那么价格将由 P(0+q2)=P(q2) 给出。如果公司 1 设置产量为 q1’，那么价格将由 P(q1’+q2) 给出。更一般地说，对于公司 1 可能决定设置的每种数量，价格将由曲线 d1(q2) 给出。曲线 d1(q2) 被称为公司 1 的剩余需求；它给出了对于给定 q2 值，公司 1 的数量和价格的所有可能组合。

• 确定公司 1 的最佳产量：为此，我们必须找到边际收益等于边际成本的位置。边际成本 (c) 被认为是常数。边际收益是一条曲线 - r1(q2) - 其斜率是 d1(q2) 的两倍，并且具有相同的纵截距。这两条曲线相交的点对应于数量 q1’’(q2)。公司 1 的最佳 q1’’(q2) 取决于它认为公司 2 正在做什么。为了找到均衡，我们推导出公司 1 在其他可能 q2 值下的最佳值。图 2 考虑了 q2 的两个可能值。如果 q2=0，那么公司 1 的剩余需求实际上就是市场需求，d1(0)=D。最佳解决方案是公司 1 选择垄断数量；q1’’(0)=q^m（q^m 是垄断数量）。如果公司 2 选择与完全竞争相对应的数量，q2=qc P(q^c)=c，那么公司 1 的最佳选择将是生产零：q1’’(q^c)=0。这是边际成本与对应于 d1(q^c) 的边际收益相交的点。

• 可以证明，在给定线性需求和恒定边际成本的情况下，函数 q1’’(q2) 也是线性的。因为我们有两个点，所以我们可以绘制整个函数 q1’’(q2)，参见图 3。注意图表的轴已经改变，函数 q1’’(q2) 是公司 1 的反应函数，它给出了公司 1 对公司 2 的每种可能选择的最佳选择。换句话说，它给出了公司 1 在知道公司 2 正在做什么的情况下做出的选择。

• 找到古诺均衡的最后一个阶段是找到公司 2 的反应函数。在这种情况下，它是对称的，因为它们的成本函数相同。均衡是反应曲线的交点。参见图 4。

• 该模型的预测是，公司将选择 纳什均衡 产量水平。

计算均衡

一般而言，设（双寡头）行业的定价函数为 $P(q_{1}+q_{2})$ 且公司 i 具有成本结构 $C_{i}(q_{i})$。要计算纳什均衡，必须首先计算公司的最佳反应函数。

企业 i 的利润等于收入减去成本。收入是价格乘以数量的乘积，而成本由企业的成本结构给出，因此利润（如上所述）为：$\Pi \ i=P(q_{1}+q_{2}).q_{i}-C_{i}(q_{i})$。最佳回应是找到$q_{i}$的值，该值最大化$\Pi \ i$，前提是给定$q_{j}$，其中$i\neq \ j$，即给定竞争对手企业的产出后，找到利润最大化的产出。因此，需要找到$\Pi \ i$关于$q_{i}$的最大值。首先，对$\Pi \ i$关于$q_{i}$进行求导。

${\frac {\partial \Pi \ i}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{i}}}.qi+P(q1+q2)-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}$

为了最大化，将其设置为零

${\frac {\partial \Pi \ i}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{i}}}.qi+P(q1+q2)-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}=0$

满足该方程的$q_{i}$ 值是最佳反应。纳什均衡是当$q_{1}$ 和 $q_{2}$ 都是给定$q_{1}$ 和 $q_{2}$ 值的最佳反应。

si===示例===

假设行业具有以下价格结构：$P(q_{1}+q_{2})=a-b(q_{1}+q_{2})$ 公司 i 的利润（成本结构为 $C_{i}(q_{i})$，以便于计算 ${\frac {\partial ^{2}C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}^{2}}}=0$ 且 ${\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{j}}}=0,j\neq \ i$）是

$\Pi \ i={\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}.q_{i}-\partial C_{i}(q_{i})$

最大化问题归结为（从一般情况来看）

${\frac {\partial {\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{i}}}.qi+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}=0$

不失一般性，考虑公司 1 的问题

${\frac {\partial {\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{1}}}.q1+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0$

$\Rightarrow \ -bq_{1}+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0$

$\Rightarrow \ q_{1}={\frac {a-bq_{2}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2b}}$

根据对称性

$\Rightarrow \ q_{2}={\frac {a-bq_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}}$

这些是公司的最佳反应函数。对于任何$q_{2}$的值，公司1的最优反应是满足上述条件的任何$q_{1}$值。在纳什均衡中，两家公司都将采取最佳反应，因此需要同时求解上述方程。将$q_{2}$代入公司1的最佳反应

$\ q_{1}={\frac {a-b({\frac {a-bq_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2b}}$

$\Rightarrow \ q_{1}*={\frac {a+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{3b}}$

$\Rightarrow \ q_{2}*={\frac {a+{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{3b}}$

纳什均衡点是所有 $(q_{1}*,q_{2}*)$。这将产生 5a/3 的市场价格。

影响

• 与垄断相比，古诺双寡头垄断的产量更大，但低于完全竞争。
• 与垄断相比，古诺双寡头垄断的价格更低，但不像完全竞争那样低。

伯特兰与古诺

• 虽然这两个模型都有类似的假设，但它们都具有非常不同的含义。
• 伯特兰预测双寡头垄断足以将价格推低至边际成本水平，这意味着双寡头垄断将导致完全竞争。
• 没有哪个模型是“更好”的，它取决于哪个模型对该行业更准确。
• 如果产能和产量可以轻松改变，那么伯特兰是双寡头垄断竞争的更好模型。或者，如果产量和产能难以调整，那么古诺通常是更好的模型。