信息市场/信息级联策略

条件概率

如果 $Pr(A|B)=$ 表示 **"已知 B 发生的条件下 A 发生的概率"** 或者 **"在 B 条件下 A 的概率"**

那么，

$Pr(A|B)={\frac {Pr(A\ AND\ B)}{Pr(B)}}$

贝叶斯规则

$Pr(B|A)={\frac {Pr(A|B)Pr(B)}{Pr(A|B)Pr(B)+Pr(A|NotB)Pr(NotB)}}$

孔多塞陪审团定理

二项分布

如果一次成功的概率是 ${\text{ }}p$，那么

$Pr(k{\text{ successes in}}\ n\ {\text{trials}})={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{(n-k)}$

而

• $p^{k}\$ 代表特定 ${\text{ }}k$ 次试验成功的概率

• $(1-p)^{(n-k)}$ 代表特定 ${\text{ }}(n-k)$ 次试验失败的概率

在数学中，

• ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

群体决策/投票

为了确定群体决策/投票是否正确，成功次数 ${\text{ }}C$ 需要大于 ${\text{ }}n$ 的一半。以下公式推导自二项分布函数，它告诉了正确群体决策的概率。

在这种情况下，通过消除投票结果为平局的情况，假设投票人数 ${\text{ }}n$ 为奇数，以便 ${\text{ }}C$ 可以大于 ${\text{ }}n$ 的一半。

因此，

$Pr(C)=\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{(n-k)}$

受影响的群体决策/投票模型

在日常生活中，人们通常会受到其他影响做出投票决定，而不是完全独立地进行决策。让我们推导出另一个模型来确定在其他影响因素下正确群体决策的概率。

令

• $p=$ 为决策正确的概率

• $C=$ 为群体做出正确决策（超过一半的投票是正确的）

• $P_{I}=$ 为影响因素正确的概率

• $\alpha =$ 为投票者遵循影响因素做出决定的概率

• $Pr({\text{Voter votes correctly}})=(1-\alpha )p+\alpha P_{I}$

• $P_{T}=Pr({\text{Voter Correct}}|{\text{Influence Correct}})=(1-\alpha )p+\alpha =$ 为影响因素正确时投票者正确的概率

• $P_{F}=Pr({\text{Voter Correct}}|{\text{Influence Wrong}})=(1-\alpha )p=$ 当影响错误时，投票者判断正确的概率

因此，

$Pr({\text{Group Correct}})=Pr({\text{Influence Correct}})Pr({\text{Group Correct}}|{\text{Influence Correct}})$

$+Pr({\text{Influence Wrong}})Pr({\text{Group Correct}}|{\text{Influence Wrong}})$

$Pr(C)=P_{I}\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{\binom {n}{k}}P_{T}^{k}(1-P_{T})^{(n-k)}+(1-P_{I})\sum _{k={\frac {n+1}{2}}}^{n}{\binom {n}{k}}P_{F}^{k}(1-P_{F})^{(n-k)}$

中心极限定理

设 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 为一系列独立同分布的随机变量。这些变量的平均值为 $\mu _{x}$，方差为 $\sigma _{x}^{2}$.

设 $y={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$.

当 $n$ 越来越大时，$y$ 将越来越接近一个均值为 $\mu _{y}=\mu _{x}$，方差为 $\sigma _{y}^{2}={\frac {\sigma _{x}^{2}}{n}}$ 的正态分布随机变量。