弦理论/超对称

超对称

本章关于超对称旨在以Z₂分级形式，不使用格拉斯曼变量来介绍它。

一个Z₂-分级向量空间是一个向量空间，其中一个偶数（玻色子）（对应于Z₂中的0）和一个奇数（费米子）（对应于1）子空间，使得向量空间是偶数和奇数子空间的直接和。

一个偶数向量是偶数子空间中的一个元素，而一个奇数向量是奇数子空间中的一个元素。一个纯向量要么是偶数向量，要么是奇数向量。任何向量都可以唯一地分解为偶数向量和奇数向量的和。

两个Z₂-分级向量空间的张量积是另一个Z₂-分级向量空间。

事实上，在这本书中，我们将采取更强烈的观点，即将偶数向量和奇数向量加在一起没有物理意义。从这个角度来看，我们可以将Z₂-分级向量空间视为一个有序对<V₀,V₁>，其中V₀是偶数空间，V₁是奇数空间。

类似地，一个Z₂-分级代数是一个代数A，它具有偶数部分和奇数部分的直接和分解，使得两个纯元素的乘积满足Z₂关系。或者，我们可以将其视为<A₀,A₁>。

一个李超代数是一个Z₂-分级代数，其乘积[·, ·]（称为李超括号或超对易子）满足

$[x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x]$

和

$(-1)^{|z||x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x||y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y||z|}[z,[x,y]]=0$

其中x、y和z在Z₂分级中是纯的。这里，|x|表示x的度数（0或1）。

李超代数是将普通李代数自然推广到包括Z₂分级。实际上，超括号上的上述条件正好是普通李括号上的条件，只是根据分级进行了修改。最后一个条件有时称为超雅可比恒等式。

请注意，李超代数的偶数子代数形成一个（普通）李代数，因为所有奇怪的符号都消失了，超括号变成了普通的李括号。

思考李超代数的一种方式——这不是最对称的方式——是分别考虑其偶数部分和奇数部分L₀和L₁。然后，L₀是一个李代数，L₁是L₀的线性表示，并且存在一个对称的L₀-互换子$\{.,.\}:L_{1}\otimes L_{1}\rightarrow L_{0}$使得对于L₁中的所有x、y和z，

$\left\{x,y\right\}[z]+\left\{y,z\right\}[x]+\left\{z,x\right\}[y]=0$

一个超流形是 非交换几何中的一个概念。回想一下，在非交换几何中，我们不看点集空间，而是看它们上的函数代数。如果M是一个（微分）流形，H是一个（光滑的）代数束，它在M上有一个格拉斯曼代数作为纤维，那么M的（光滑的）截面的空间在逐点乘法下形成一个超交换代数。我们说这个代数定义了超流形（它不是一个点集空间）。

如果M是一个实流形，我们定义了一个在纤维上的对合*，使其成为一个*代数，那么得到的代数将定义一个实超流形。