弦理论/二维共形场论

二维共形场论

共形变换

共形群

弦理论的故事始于二维共形不变性。

流形上的共形变换在每一点都保持角度，例如将地球投影到无限圆柱体上的墨卡托投影。它们可以定义为使度量保持不变的变换，直至一个比例因子。

${\underline {g}}_{\mu \nu }({\underline {x}}^{\xi })=\Lambda (x^{\xi })g_{\mu \nu }(x^{\xi })$

可逆共形变换的集合构成一个群。这就是共形群。

让我们将此规则应用于二维流形。

${\underline {g}}_{{\underline {\mu }}{\underline {\nu }}}({\underline {x}}^{\xi })=\left({\frac {\partial {\underline {x}}^{\underline {\mu }}}{\partial x^{\mu }}}\right)\left({\frac {\partial {\underline {x}}^{\underline {\nu }}}{\partial x^{\nu }}}\right)g_{\mu \nu }(x^{\xi })$

为了使这种变换成为共形变换，度量必须彼此成比例，这意味着，

$\left({\frac {\partial {\underline {x}}^{\underline {\mu }}}{\partial x^{\mu }}}\right)\left({\frac {\partial {\underline {x}}^{\underline {\nu }}}{\partial x^{\nu }}}\right)\propto \delta _{\mu }^{\underline {\mu }}\delta _{\nu }^{\underline {\nu }}$

写出分量，以下条件出现

$\left({\frac {\partial z^{0}}{\partial {\underline {z}}^{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z^{0}}{\partial {\underline {z}}^{1}}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial z^{1}}{\partial {\underline {z}}^{0}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z^{1}}{\partial {\underline {z}}^{1}}}\right)^{2}$

${\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{0}}}{\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{0}}}+{\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{1}}}{\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{1}}}$

这些条件最终被证明等效于全纯或反全纯函数的柯西-黎曼条件！

${\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{0}}}={\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{1}}}$ 以及 ${\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{0}}}=-{\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{1}}}$ （全纯）

${\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{0}}}=-{\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{1}}}$ 以及 ${\frac {\partial {\underline {x}}^{0}}{\partial x^{0}}}={\frac {\partial {\underline {x}}^{1}}{\partial x^{1}}}$ （反全纯）

因此，在二维空间中，共形群是由所有可逆全纯映射组成的集合，该集合与所有反全纯映射的集合同构。由于这个原因，在讨论二维共形场时使用复坐标很方便。

所有可逆全纯函数的集合是分数线性变换的集合

$f(z)={\frac {\heartsuit z-\clubsuit }{\spadesuit z+\diamondsuit }}$

其中

$\heartsuit \diamondsuit -\clubsuit \spadesuit =1$

很容易通过组合两个这样的函数来验证它们的组合等效于矩阵乘法，矩阵的形式为

${\begin{pmatrix}\heartsuit &\clubsuit \\\spadesuit &\diamondsuit \end{pmatrix}}$

很明显，二维共形群等效于复数可逆 $2\times 2$ 矩阵组，其行列式为 1。该组也称为 $SL(2,\mathbb {C} )$.

经典弦

经典弦

让我们将二维中共形不变的行动嵌入到更高维度的空间中。我们发现这样的行动概括了点粒子的概念。

二维量子场论

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