逻辑系统/数学逻辑
逻辑是严格遵循一些简单规则的体系。这些规则与持久性和关系有关。在逻辑中，一个语句只能是真或假 - 没有中间状态。遵循这一点，一个语句的表达方式必须使得任何人都能够独立于自己与语句的关系，判断其真假。让我们用一些例子来说明这一点
- 语句：1 + 1 = 2. 值：真。
- 语句：1 + 1 = 5. 值：假。
- 语句：Jonny 是一位好人。 值：没有逻辑真值，因为它取决于你与 Jonny 的关系。也不清楚 Jonny 是谁，以及你所说的“好人”是什么意思（友善、诚实、合作或完全不同的含义），因此在逻辑中，你无法为这个语句赋予一个真值。
在逻辑中，一个语句的真值保持不变。如果一个语句为真，它就保持为真。一个语句的真值可以导致另一个语句的真值，同样地，这个真值也保持不变。
让我们看一下两个名为p和q的语句之间的关系。关系是：如果p为真，那么q也为真。（p = 真 => q = 真）q可以为假吗？只要p为真，就不可以。那么当p不为真时会怎么样？（p = 假）由于q仅在p为真时才依赖于p，因此只要p为假，q就未定。
关系 1
- p = 真 => q = 真
- p = 假 => q = 未定
如果我们不知道p的结果，但知道q的结果，那么我们能判断p是否为真吗？如果p为真，那么q必须为真，但如果p不为真，那么q就未定（可以为真或不为真）。因此，我们可以说，如果q不为真，那么p也不可以为真，因为一个真的p会导致一个真的q（p = 真 => q = 真）。如果q为真（q = 真），那么p可以为真，但它也可以不为真，因为当p为假时，q独立于p。我们现在已经使用关系 1来建立一个新的关系。
关系 2
- q = 假 => p = 假
- q = 真 => p = 未定
p 或 q 的持久性怎么样？
p 就是 p。我们知道这一点。我们也知道 q 就是 q。我们真的知道吗？它们不能改变吗？我们必须将这些语句定义为持久性的。如果它们改变，那么它们就被定义为新的语句。
这意味着什么？让我们看一些现实世界的语句。这里有两个
天空是蓝色的。水是蓝色的。
现在，如果天空是蓝色的，那么水也是蓝色的吗？好吧，在许多自然区域，情况确实如此，但在许多自然区域，水是浑浊的棕色或冰川的绿色，即使这些颜色也是一种视角问题。有些人可能会说水是清澈的，而“水”中的任何颜色都来自于根本不是 H2O 的东西。有太多假设和条件，无法对这两个语句说出任何有用的逻辑关系，除了它们在逻辑上不一定“遵循”彼此。
这里有两个不同的语句
天空是蓝色的。天空没有云。
其中一个语句是否从另一个语句推导出？我建议，为了确信某事，我们必须假设我们处于白天，没有特殊的环境，比如沙尘暴、火山灰雾或日食。然后我可以安全地说
如果天空没有云，那么天空是蓝色的。如果 p，那么 q。
反过来怎么样？
如果 q，那么 p。如果天空是蓝色的，那么天空没有云。
我认为这行不通。你有没有同时见过明亮的蓝天和天空中的云？当然！所以 p 并不遵循 q。但 q 确实遵循 p（在我们关于火山等的特殊假设下）。
如果 q 为假，那么 p 呢？
如果天空不是蓝色的，那么天空有云。
是的！这似乎在所有情况下都是正确的。（再次在我们特殊的假设下。）逻辑学家称这个语句为第一个语句的逆否命题。
语句：如果 p 那么 q。
逆否命题：如果非 q 那么非 p。
在逻辑中，有四种类型的语句。字母上的横线表示否定语句。例如，“我的名字是 Tristan” 将变成 “我的名字不是 Tristan”。四种类型的语句分别是
- 语句：p 蕴涵 q
- 逆否命题：非 q 蕴涵 非 p
- 逆命题：q 蕴涵 p
- 否命题：非 p 蕴涵 非 q
语句和逆否命题被称为“逻辑等价”。逆命题和否命题也是逻辑等价的。这意味着，如果语句为真，那么逆否命题也为真。逆命题和否命题不一定为真，但可以为真。以下是一些基本语句来说明这一点
p = 今天是元旦。
q = 今天是节假日。
语句，也就是 ，将写成“如果今天是元旦，那么今天是节假日”。
逆否命题，，也是真的，“如果今天不是节假日，那么今天不是元旦”。
在这种情况下，逆命题，，并不成立。它可以被理解为，"如果今天是假日，那么今天是新年"。
由于逆命题和否命题在逻辑上是等价的，因此否命题，，也不成立。它可以被理解为，"如果今天不是新年，那么今天不是假日"。