编程的科学/时光流逝

在 CME 的第 8 章中，SPT 讨论了牛顿如何使用变量上的一个点来表示微分，而莱布尼茨则使用了本书中的符号：${\frac {dy}{dx}}$. 莱布尼茨符号的优点是，它明确说明了在进行微分时应考虑哪个自变量（如果有多个自变量）。

例如，如果

   $y=3x^{2}-5$

那么

   ${\frac {dy}{dx}}=6x$

另一方面，关于 t 而不是 x 进行微分得到

   ${\frac {dy}{dt}}=0$

因为 $3x^{2}-5$ 被视为相对于自变量 t 的常数。也就是说，无论你改变 t 的值多少，$3x^{2}-5$ 的值都不会改变（因为你没有改变 x，只是 t）。

到目前为止，我们一直在假设，自变量和我们求导的变量是同一个。

让我们研究一下如果我们不做出这样的假设，我们的代码可能是什么样子。

一个朴素的微分系统

根据我们对术语构造器的可视化，我们一直假设自变量是 x，因为我们最终得到了像这样的可视化

   3x^2

如果我们不硬编码自变量，我们将需要将其传递进来。以下是 term 的一个版本框架，其中自变量的名称将被传递进来

   function term(a,iv,n)
       {
       function value(x) { ... }
       function toString() { ... }
       function diff(wrtv) { ... }
       this;
       }

新版 term 和旧版 term 之间的第一个主要区别在于，新版 term 有三个形式参数，而不是两个。第二个形式参数 iv（代表independent variable，即自变量），表示自变量。我们假设它将绑定到诸如 x、t 等符号。我们可以在基本 toString 方法（没有简化的那个）中看到这一点，它从

   function toString() { "" + a + "x^" + n; }

变为

   function toString() { "" + a + iv + "^" + n; }

注意，原始版本中的 x 是字符串的一部分，因此是固定的。在第二个版本中，iv 是一个变量，它被（或更确切地说将被）绑定到一个符号。看一下可视化将有助于我们理清思路

   var t = term(5,:w,3);
    
   sway> t . toString();
   STRING: 5w^3

第二个主要变化是，微分方法 diff 现在接受一个参数 wrtv，它代表with-respect-to variable（即关于哪个变量微分）。如果自变量和关于哪个变量微分的变量相同，则微分将像以前一样进行。如果不相同，则会生成一个常数零

   function diff(wrtv)
       {
       if (wrtv == iv)
           {
           if(n == 0,term(0,iv,0),term(a * n,iv,n - 1));
           }
       else
           {
           constant(0); 
           }
       }

现在让我们测试一下

   var a = t . diff(:w);   //iv and wrtv match
   var b = t . diff(:x);   //iv and wrtv do not match
    
   sway> t . toString();
   STRING: 5w^3
   sway> a . toString();
   STRING: 15w^2
   sway> b . toString();
   STRING: 0

此输出假设 term 的 toString 方法执行了上一章中讨论的简化。

value 方法怎么样？

我们不需要更改术语的 value 方法。这是因为使用了自变量的值，而不是它的名称。换句话说，value 方法执行数值计算，而 diff 方法执行符号计算。因此，value 需要一个数字，而 diff 需要一个名称。

由于 toString 和 diff 都使用术语变量的名称而不是值，因此它们都需要修改，因为名称不再是硬编码的。

问题

1. 如果我们将形式参数 iv 重命名为 x 并且将所有 iv 的出现替换为 x 会发生什么？解释一下。

2. 重新定义简化的 term 构造器，使其不再假设自变量是 x。

3. 重新定义简化的 sum 构造器，使其不再假设自变量是 x。

4. 完成朴素的微分系统（minus、times 和 div）。

5. 使用 sway 做 p. 92 上的 2。

6. 使用 sway 做 p. 92 上的 4 和 5。

7. 我们正在玩一个把沙包扔进垃圾桶的游戏，我们想正确地模拟物理现象。水平位移为 $x=x_{0}+v_{x_{0}}t$，垂直位移为 $z=z_{0}+v_{z_{0}}t-1/2gt^{2}$。x 和 z 关于 t 的变化是什么？令 $x_{0}=0$，$v_{x_{0}}=3$，$z_{0}=5$，并且 $v_{z_{0}}=3$。绘制 x 和 z 以及 x 和 z 方向上的速度与时间的关系图，时间范围为 0 到 10。